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Atomic spinors (spin-orbit eigenfunctions) expressed in a basis of atomic spin orbitals, and matrix elements of the angular momentum and Zeeman operators

Below are sets of HSO = ζL⋅S eigenfunctions |j,mj〉 expressed in a basis |ℓ,mℓ,ms〉 of atomic spin orbitals for a given angular momentum quantum number ℓ = 1, 2, or 3. These functions were generated with a Mathematica notebook similar to the Mathematica notebook discussed on this page. We also give these eigenfunctions subject to time reversal, and matrix elements of the spin and orbital angular momenum operators, and of the Zeeman (magnetic field perturbation) operator HαZ = Lα + 2Sα with α = x,y,z. The definition of the orbital angular momentum eigenfunctions in the basis uses the Condon-Shortley phase. As a consequence, time reversal changes mℓ to −mℓ but also introduces a negative sign in the spin orbital basis if mℓ is odd. The coefficients representing the eigenfunctions of HSO and their time-reversed counterparts reflect this. The |j,mj〉 functions provided here were verified to be simultaneous eigenfunctions of HSO, j2, and j z, with phases such that j±|j,mj〉 = α±|j,mj ± 1〉, with α± being a positive real number as long as mj ± 1 is in the allowed range of the projection quantum number, zero otherwise.

If you use this material for research please cite our publication [210] and this web page. And if you spot a mistake here, please let us know. Thank you.

∙ p orbitals ℓ = 1

SO Hamiltonian HSO = ζL ⋅ S in the basis of ℓ = 1 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉 (excluding SO coupling constant ζ)

|| | | | | | ||1,1, 1〉 |1,1, − 1〉 |1,0, 1〉 |1,0, − 1〉 |1,− 1, 1〉 |1, − 1,− 1〉 -||-----1〉-----|----1-2-----------2---------2-----------2-----------2-------------2--- |1,1, 2 1〉 | 2 0 1 01 0 0 0 ||1,1,− 〉2 | 0 − 2 √2- 0 0 0 |1,0, 1 | 0 √1- 0 0 0 0 || 2 1〉 | 2 √1- |1,0,− 2〉 | 0 0 0 0 2 0 ||1,− 1, 12 | 0 0 0 √12- − 12 0 |1,− 1, − 1〉 | 0 0 0 0 0 1 2 2

HSO Eigenfunctions |j,mj〉 in the basis of ℓ = 1 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉
(eigenvalues: −1 for j = 1∕2, +1∕2 for j = 3∕2, times ζ)

||1 1 〉 |1 1〉 |3 3〉 |3 1〉 |3 1 〉 |3 3〉 -|------〉-----||2,−-2----|2,2---|2,-−-2---|2,−--2---|2,2---|2-,2--- |1,1, 12 | 0 0∘ -- 0 0 0 1 || 1〉 | 2 -1- 1,1,− 2 | 0 − 3 0 0 √∘ 3- 0 ||1,0, 1〉 | 0 √1- 0 0 2 0 | 2 | 3 ∘ -- 3 |1,0,− 1〉 | − 1√-- 0 0 2 0 0 | 2〉 | ∘ -3 3 |1,− 1, 1 | 2 0 0 √1- 0 0 || 2 1〉 | 3 3 1,− 1,− 2 | 0 0 1 0 0 0

Kramers-conjugates |j,mj〉′ of the HSO Eigenfunctions in the basis of ℓ = 1 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

| |||1,− 1〉′ ||1, 1〉′ ||3,− 3〉 ′ ||3,− 1〉′ ||3 , 1〉′ ||3, 3 〉′ -||-----1〉-----|-2----2----2--2-----2---2-----2----2----2--2-----2-2---- |1,1, 2 〉 | ∘0 -- 0 1 0 0 0 |1,1,− 1 | − 2 0 0 − √1- 0 0 | 〉2 | 3 ∘ 3- |1,0, 1 | √1- 0 0 − 2 0 0 | 2 〉 | 3 3 ∘ -- |1,0,− 12 | 0 √13- 0 0 23 0 | 1〉 | ∘ 2- 1 ||1,− 1, 2 〉 | 0 − 3 0 0 √3- 0 |1,− 1, − 1 | 0 0 0 0 0 − 1 2

Operator Sx in the basis of ℓ = 1 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

|| | | | | | ||1,1, 1〉 |1,1, − 1〉 |1,0, 1〉 |1,0, − 1〉 |1,− 1, 1〉 |1, − 1,− 1〉 -||-----1〉-----|------2--------1--2---------2-----------2-----------2-------------2--- |1,1, 2 1〉 | 01 2 0 0 0 0 ||1,1,− 〉2 | 2 0 0 0 0 0 ||1,0, 12 〉 | 0 0 0 12 0 0 |1,0,− 1 | 0 0 1 0 0 0 ||1,− 1, 21〉 | 0 0 20 0 0 1 || 2 1〉 | 1 2 1,− 1, − 2 | 0 0 0 0 2 0

Operator Sy in the basis of ℓ = 1 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

||| 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1〉 -|------〉-----|-1,1,-2----1,1,-−-2----1,0,-2----1,0,-−-2----1,−-1,-2----1,-−-1,−-2--- ||1,1, 12 〉 | 0 − i2 0 0 0 0 |1,1,− 1 | i 0 0 0 0 0 ||1,0, 1〉2 | 02 0 0 − i 0 0 || 2 1〉 | i 2 |1,0,− 2〉 | 0 0 2 0 0 0 ||1,− 1, 12 〉 | 0 0 0 0 0 − i2 |1,− 1, − 1 | 0 0 0 0 i 0 2 2

Operator Sz in the basis of ℓ = 1 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

|| 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 ||1,1, 1 |1,1, − 1 |1,0, 1 |1,0, − 1 |1,− 1, 1 |1, − 1,− 1 -||-----1〉-----|----1-2-----------2---------2-----------2-----------2-------------2--- |1,1, 2 1〉 | 2 0 1 0 0 0 0 ||1,1,− 〉2 | 0 − 2 0 0 0 0 ||1,0, 12 〉 | 0 0 12 0 0 0 |1,0,− 1 | 0 0 0 − 1 0 0 ||1,− 1, 21〉 | 0 0 0 02 1 0 || 2 1〉 | 2 1 1,− 1, − 2 | 0 0 0 0 0 − 2

Operator Sx in the basis of ℓ = 1 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||1,− 1〉 ||1 , 1〉 ||3,− 3〉 ||3,− 1 〉 ||3, 1〉 ||3 , 3〉 -||1---1-〉-|-2---2----2--21----2--1-2----2---2-----2-21----2--2--- |2,− 2〉 | 0 − 6 √6 0 − 3√2 0 |12, 12 | − 16 0 0 -1√-- 0 − √1- ||3,− 3 〉 | √1- 0 0 31√2- 0 0 6 |23 21 〉 | 6 1 1 2 3 1 ||2,− 2〉 | 0 3√2-- 2√3- 0 3 0 |3, 1 | − -1√-- 0 0 1 0 √1-- ||23 23 〉 | 3 2 √1- 3 -1√-- 2 3 2,2 | 0 − 6 0 0 2 3 0

Operator Sy in the basis of ℓ = 1 SO eigenfunctions |j,mj〉

||1 1〉 |1 1〉 |3 3〉 |3 1 〉 |3 1〉 |3 3〉 -|------〉-||2,−-2---|2-,2---|2,−--2---|2,−-2----|2,2---|2-,2--- |12,− 12 | 0 − i6 − √i- 0 − -i√-- 0 ||1, 1 〉 | i 0 0 6 − -i√-- 30 2 − √i- |23 2 3 〉 | 6i 3i 2 6 ||2,− 2 〉 | √6- 0 0 2√3- 0 0 |3,− 1 | 0 √i-- − -√i- 0 i 0 ||23 1 2〉 | -i-- 3 2 2 3 i 3 -i-- |2,2 〉 | 3√2 0 0 − 3 0 2√3- |32, 32 | 0 √i- 0 0 − -i√-- 0 6 2 3

Operator Sz in the basis of ℓ = 1 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||1,− 1〉 ||1 , 1〉 ||3,− 3〉 ||3,− 1 〉 ||3, 1〉 ||3, 3〉 -|1----1〉-|-2-1-2----2--2----2----2----2-√22-----2-2----2--2--- ||2,− 2 | 6 0 0 3-- √0- 0 |1, 1 〉 | 0 − 1 0 0 --2 0 ||23 2 3〉 | 6 1 3 |2,− 2〉 | √0- 0 − 2 0 0 0 |32,− 12 | -32 √0- 0 − 16 0 0 ||3, 1 〉 | 0 --2 0 0 1 0 ||23 23 〉 | 3 6 1 2,2 | 0 0 0 0 0 2

Operator Lx in the basis of ℓ = 1 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

||| 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1〉 -|------〉-----|-1,1,-2----1,1,-−-2----1,0,-2----1,0,-−-2----1,−-1,-2----1,-−-1,−-2--- ||1,1, 12 | 0 0 √12- 0 0 0 |1,1,− 1〉 | 0 0 0 √1- 0 0 || 1〉2 | -1- 2 -1- |1,0, 2 〉 | √2 0 0 0 √2- 0 |1,0,− 12 | 0 √1- 0 0 0 √1- ||1,− 1, 1〉 | 0 02 √1- 0 0 02 | 2 1〉 | 2 1 |1,− 1, − 2 | 0 0 0 √2- 0 0

Operator Ly in the basis of ℓ = 1 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

|||1,1, 1〉 ||1,1, − 1〉 ||1,0, 1〉 ||1,0, − 1〉 ||1,− 1, 1〉 ||1, − 1,− 1〉 -||-----1〉-----|------2-----------2--------i2-----------2-----------2-------------2--- |1,1, 2 〉 | 0 0 − √2 0 0 0 |1,1,− 1 | 0 0 0 − √i- 0 0 || 1〉2 | √i- 2 √i- |1,0, 2 〉 | 2 0 0 0 − 2 0 |1,0,− 12 | 0 √i2- 0 0 0 − √i2- ||1,− 1, 1〉 | 0 0 √i- 0 0 0 | 2 1〉 | 2 i |1,− 1, − 2 | 0 0 0 √2- 0 0

Operator Lz in the basis of ℓ = 1 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

|| 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 -|------〉-----||1,1,-12---|1,1,-−-12---|1,0,-12---|1,0,-−-12---|1,−-1,-12---|1,-−-1,−-12--- |1,1, 1 | 1 0 0 0 0 0 ||1,1,−2 1〉 | 0 1 0 0 0 0 || 1〉2 | |1,0, 2 1〉 | 0 0 0 0 0 0 ||1,0,− 2〉 | 0 0 0 0 0 0 |1,− 1, 1 | 0 0 0 0 − 1 0 ||1,− 1, 2− 1〉 | 0 0 0 0 0 − 1 2 |

Operator Lx in the basis of ℓ = 1 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||1,− 1〉 ||1 , 1〉 ||3, − 3〉 ||3,− 1〉 ||3, 1〉 ||3 , 3〉 -||1---1-〉-|-2---2----2-22----2---12----2----2----212----2--2--- |2,− 2〉 | 0 3 − √6 0 3√2 0 |12, 12 | 23 0 0 − -1√-- 0 √1- ||3,− 3 〉 | − √1- 0 0 31√--2 0 06 |23 21 〉 | 6 1 1 3 2 ||2,− 2〉 | 0 − 3√2- √3- 0 3 0 |3, 1 | -1√-- 0 0 2 0 √1- ||23 23 〉 | 3 2 √1- 3 √1- 3 2,2 | 0 6 0 0 3 0

Operator Ly in the basis of ℓ = 1 SO eigenfunctions |j,mj〉

||1 1〉 |1 1〉 |3 3〉 |3 1〉 |3 1〉 |3 3〉 -|------〉-||2,−-2---|2-,2---|2,-−-2---|2,−--2---|2,2---|2-,2--- |12,− 12 | 0 2i3- √i- 0 -i√-- 0 ||1, 1 〉 | − 2i 0 06 -√i- 302 √i- |23 2 3 〉 | 3i 3 i2 6 ||2,− 2 〉 | − √6- 0 0 √3- 0 0 |3,− 1 | 0 − -i√-- − √i- 0 2i 0 ||23 1 2〉 | -i-- 3 2 3 2i 3 -i- |2,2 〉 | − 3√2 0 0 − 3 0 √3- |32, 32 | 0 − √i- 0 0 − √i- 0 6 3

Operator Lz in the basis of ℓ = 1 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||1,− 1〉 ||1 , 1〉 ||3,− 3〉 ||3,− 1 〉 ||3, 1〉 ||3, 3〉 -|1----1〉-|-2--22----2--2----2----2----2--√22-----2-2----2--2--- ||2,− 2 | − 3 0 0 − 3-- 0√ - 0 |1, 1 〉 | 0 2 0 0 − --2 0 ||23 2 3〉 | 3 3 |2,− 2〉 | 0√ - 0 − 1 0 0 0 |32,− 12 | − -32 0√ - 0 − 13 0 0 ||3, 1 〉 | 0 − --2 0 0 1 0 ||23 23 〉 | 3 3 2,2 | 0 0 0 0 0 1

Operator Lx + 2Sx in the basis of ℓ = 1 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||1 1〉 ||1 1〉 ||3 3〉 ||3 1 〉 ||3 1〉 ||3 3〉 -|------〉-|-2,−-2----2-,2----2,−--2----2,−-2-----2,2----2-,2--- ||12,− 12 | 0 13 √16- 0 − 31√2- 0 |1, 1 〉 | 1 0 0 -1√-- 0 − √1- ||23 2 3 〉 | -31- 322 6 |2,− 2 〉 | √6- 0 0 √3 0 0 |32,− 12 | 0 √1-- √2- 0 43 0 ||3, 1 〉 | − -1√-- 302 03 4 0 √2- |23 23 〉 | 3 2 1 3 2 3 |2,2 | 0 − √6- 0 0 √3- 0

Operator Ly + 2Sy in the basis of ℓ = 1 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||1,− 1〉 ||1 , 1〉 ||3,− 3〉 ||3,− 1 〉 ||3, 1〉 ||3 , 3〉 -||1---1-〉-|-2---2----2-i2----2---i2----2---2-----2-2i----2--2--- |2,− 2〉 | 0 3 − √6 0 − 3√2 0 |1, 1 | − i 0 0 − -i√-- 0 − √i- ||23 2 3 〉 | √i3 √32i 2 6 |2,− 2 〉 | 6 0 0 3 0 0 |32,− 12 | 0 3√i2-- − 2√i3- 0 43i 0 ||3, 1 〉 | -i√-- 0 0 − 4i 0 2√i- |23 23 〉 | 3 2 i 3 2i 3 |2,2 | 0 √6- 0 0 − √3- 0

Operator Lz + 2Sz in the basis of ℓ = 1 SO eigenfunctions |j,mj〉

|| 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 ----------||12,−-12---|12-, 12--|32,−--32---|32,−√-12----|32, 12--|32,-32--- ||1,− 1〉 | − 1 0 0 -2- 0 0 |21 1 〉2 | 3 1 3 √2 ||2,2 〉 | 0 3 0 0 -3- 0 |32,− 32 | 0 0 − 2 0 0 0 ||3 1〉 | √2- 2 |2,− 〉2 | 3 √0- 0 − 3 0 0 ||32, 12 〉 | 0 -32 0 0 23 0 |3, 3 | 0 0 0 0 0 2 2 2

∙ d orbitals ℓ = 2

SO Hamiltonian HSO = ζL ⋅ S in the basis of ℓ = 2 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉 (excluding SO coupling constant ζ)

|| 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 -|------------||2,2,-12---|2,2,-−-12---|2,1,-12---|2,1,-−-12---|2,0,-12---|2,0,-−-12---|2,-−-1, 12--|2,-−-1,−-12----|2,-−-2,-12---|2,-−-2,−--12-- |2,2, 1〉 | 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 || 2 1〉 | |2,2,−1〉2 | 0 − 1 11 0 0 0 0 0 0 0 |2,1, 2 | 0 1 2 0 ∘ 0-- 0 0 0 0 0 ||2,1,− 1〉 | 0 0 0 − 1 3 0 0 0 0 0 | 〉2 | ∘ 2- 2 |2,0, 1 | 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 | 2 〉 | 2 ∘ -- |2,0,− 12 | 0 0 0 0 0 0 32 0 0 0 | 1〉 | ∘ 3- 1 |2,− 1, 2 | 0 0 0 0 0 2 − 2 0 0 0 ||2,− 1, − 1〉 | 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 || 1〉2 | 2 |2,− 2, 2 1〉 | 0 0 0 0 0 0 0 1 − 1 0 |2,− 2, − 2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

HSO Eigenfunctions in the basis of ℓ = 2 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉
(eigenvalues: −3∕2 for j = 3∕2, +1 for j = 5∕2, times ζ)

|||3,− 3〉 ||3,− 1〉 ||3 , 1〉 ||3, 3〉 ||5,− 5 〉 ||5,− 3〉 ||5, − 1〉 ||5, 1〉 ||5, 3〉 ||5 , 5〉 -||-----1〉-----|-2----2----2---2----2--2----2--2----2---2-----2---2----2----2----2--2----2-2----2--2--- |2,2, 2 〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ||2,2,− 〉12 | 0 0 0 − √25- 0 0 0 0 √15- 0 |2,1, 1 | 0 0 0 √1- 0 0 0 0 √2- 0 | 2 〉 | ∘ -- 5 ∘ -- 5 |2,1,− 12 | 0 0 − 35 0 0 0 0 25 0 0 | 1〉 | ∘ 2- ∘ -3 |2,0, 2 | 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 || 1〉 | ∘ 2- ∘ 3- 2,0,− 2 | 0 −∘ -5 0 0 0 0 ∘ 5- 0 0 0 || 1〉 | 3 2 |2,− 1, 2 〉 | 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 |2,− 1, − 12 | − 1√5- 0 0 0 0 √25- 0 0 0 0 ||2,− 2, 1〉 | 2√-- 0 0 0 0 √1- 0 0 0 0 | 2 1〉 | 5 5 |2,− 2, − 2 | 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Kramers-conjugates |j,mj〉′ of the HSO Eigenfunctions in the basis of ℓ = 2 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

|||3 3〉′ ||3 1〉′ ||3 1〉 ′ ||3 3〉′ ||5 5〉′ ||5 3 〉′ ||5 1〉′ ||5 1〉′ ||5 3 〉′ ||5 5〉′ -|-----1〉-----|-2,−--2----2,-−-2-----2,2-----2,-2----2-,−-2-----2,−-2-----2,-−-2-----2,2-----2,2-----2,-2--- ||2,2, 2 〉 | 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 |2,2,− 12 | √25- 0 0 0 0 √15- 0 0 0 0 ||2,1, 1〉 | − √1- 0 0 0 0 √2- 0 0 0 0 | 2 〉 | 5 ∘ -- 5 ∘ -- |2,1,− 1 | 0 − 3 0 0 0 0 − 2 0 0 0 | 〉2 | ∘ -5 ∘ 5- |2,0, 12 | 0 25 0 0 0 0 − 35 0 0 0 | 1〉 | ∘ -2 ∘ 3- |2,0,− 2 | 0 0 5- 0 0 0 0 5- 0 0 || 1〉 | ∘ 3 ∘ 2 |2,− 1, 2 〉 | 0 0 − 5 0 0 0 0 5 0 0 |2,− 1, − 1 | 0 0 0 − √1- 0 0 0 0 − √2- 0 || 1〉2 | √2-5 √51- |2,− 2, 2 1〉 | 0 0 0 5 0 0 0 0 − 5 0 |2,− 2, − 2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Operator Sx in the basis of ℓ = 2 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

|| 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 -|------〉-----||2,2,-12---|2,2,-−-12---|2,1,-12---|2,1,-−-12---|2,0,-12---|2,0,-−-12---|2,-−-1, 12--|2,-−-1,−-12----|2,-−-2,-12---|2,-−-2,−--12-- |2,2, 1 | 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ||2,2,−2 1〉 | 1 02 0 0 0 0 0 0 0 0 || 1〉2 | 2 1 |2,1, 2 1〉 | 0 0 01 2 0 0 0 0 0 0 ||2,1,− 〉2 | 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 ||2,0, 12 | 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 |2,0,− 1〉 | 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 || 21〉 | 2 1 |2,− 1, 2 1〉 | 0 0 0 0 0 0 01 2 0 0 ||2,− 1, −〉2 | 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 ||2,− 2, 12 〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 |2,− 2, − 1 | 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 2

Operator Sy in the basis of ℓ = 2 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

||| 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1 〉 || 1〉 || 1〉 -|------〉-----|-2,2,-2----2,2,-−-2----2,1,-2----2,1,-−-2----2,0,-2----2,0,-−-2----2,-−-1,2----2,-−-1,−-2----2,-−-2,-2---2,-−-2,−--2-- ||2,2, 12 〉 | 0 − i2 0 0 0 0 0 0 0 0 |2,2,− 1 | i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ||2,1, 1〉2 | 02 0 0 − i 0 0 0 0 0 0 | 2 1〉 | i 2 ||2,1,− 〉2 | 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 ||2,0, 12 〉 | 0 0 0 0 0 − i2 0 0 0 0 |2,0,− 1 | 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 || 21〉 | 2 i |2,− 1, 2 1〉 | 0 0 0 0 0 0 0i − 2 0 0 ||2,− 1, −〉2 | 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 ||2,− 2, 12 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − i2 |2,− 2, − 1〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 2 2

Operator Sz in the basis of ℓ = 2 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

||2,2, 1〉 ||2,2, − 1〉 ||2,1, 1〉 ||2,1, − 1〉 ||2,0, 1〉 ||2,0, − 1〉 ||2, − 1, 1〉 ||2, − 1,− 1 〉 ||2, − 2, 1〉 ||2, − 2,− 1〉 ---||-----1〉--------1-2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2-------------2------------2-------------2-- | 2,2, 2 〉 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |2|,2, − 12〉 0 − 12 0 0 0 0 0 0 0 0 |2,1, 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ||2,1, −21〉 0 0 20 − 1 0 0 0 0 0 0 || 12〉 2 1 | 2,0, 21〉 0 0 0 0 2 01 0 0 0 0 ||2,0, − 2〉 0 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 ||2,− 1, 12 〉 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 |2,− 1, − 1 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 || 12〉 2 1 | 2,− 2, 21〉 0 0 0 0 0 0 0 0 2 01 |2,− 2, − 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2

Operator Sx in the basis of ℓ = 2 SO eigenfunctions |j,mj〉

||3 3〉 |3 1〉 |3 1〉 |3 3〉 |5 5〉 |5 3〉 |5 1〉 |5 1〉 |5 3〉 |5 5〉 -|------〉-||2,−-2---|2,-−√-2---|2,-2---|2,2---|2-,−-2---|2,−--2---|2,−--2---|2,2---|2-,2---|2,-2--- |3,− 3 | 0 − --3 0 0 √1- 0 − -1√-- 0 0 0 |2 2 〉 | √ - 10 5 √- 5 2 √ 3- |3,− 1 | − --3 0 − 1 0 0 -3- 0 − --2- 0 0 |23 1 2〉 | 10 1 5 √3- 5 √ -3 5 √3- ||2,2 | 0 − 5 0√- − -10 0 0 -5-2 0 − -5- 0 |3, 3 〉 | 0 0 − -3- 0 0 0 0 -1√-- 0 − √1- ||25 2 5 〉 | -1- 10 --1- 5 2 5 |2,− 2 〉 | √5- √0- 0 0 0 2√5 0√- 0 0 0 |5,− 3 | 0 --3 0 0 -1√-- 0 -2- 0 0 0 |2 2 〉 | 5 √ -3 2 5 √- 5 |5,− 1 | − -1√-- 0 ---2 0 0 -2- 0 3- 0 0 |2 2〉 | 5 2 √ 3- 5 5 10 √ - |52, 12 | 0 − -52- 0 -1√-- 0 0 310 0 -52 0 ||5 3 〉 | √3- 5 2 √2- --1- |2,2 〉 | 0 0 − 5 0 0 0 0 5 0 2√5 |52, 52 | 0 0 0 − √15- 0 0 0 0 21√5- 0

Operator Sy in the basis of ℓ = 2 SO eigenfunctions |j,mj〉

||3 3〉 |3 1〉 |3 1〉 |3 3 〉 |5 5〉 |5 3〉 |5 1〉 |5 1〉 |5 3〉 |5 5 〉 -|--------||2,−-2---|2,-−√-2---|2,-2---|2,2----|2,−-2---|2-,−-2---|2,-−-2----|2,-2----|2,-2---|2,2--- |3,− 3 〉 | 0 − i-3- 0 0 − √i- 0 − -√i- 0 0 0 |2 2 〉 | √- 10 5 √ - 5 2 ∘ -- |32,− 12 | i103- 0 − i5 0 0 − i53- 0 − 15i 32 0 0 | 〉 | √- ∘ -- √ - |32, 12 | 0 i5 0 − i130- 0 0 − 15 i 32 0 − i-53 0 ||3 3 〉 | i√3- --i- -i- |2,2 〉 | 0 0 10 0 0 0 0 − 5√ 2 0 − √ 5 |52,− 52 | √i5- 0 0 0 0 2i√5- 0 0 0 0 ||5 3 〉 | i√3-- -i√-- i√2-- |2,− 2 | 0 5 0∘ -- 0 − 2 5 0√ - 5 0 0 0 |5,− 1 〉 | -i√-- 0 1i 3 0 0 − i-2- 0 3i 0 0 |2 2〉 | 5 2 ∘ -- 5 2 5 10 √ - |5, 1 | 0 1 i 3 0 -√i- 0 0 − 3i 0 i--2 0 |25 23 〉 | 5 2 i√3- 5 2 10 i√2- 5 i ||2,2 〉 | 0 0 --5- 0 0 0 0 − -5-- 0 2√5- |5, 5 | 0 0 0 √i- 0 0 0 0 − -√i- 0 2 2 5 2 5

Operator Sz in the basis of ℓ = 2 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||3,− 3〉 ||3, − 1〉 ||3, 1〉 ||3, 3〉 ||5 ,− 5〉 ||5,− 3〉 ||5,− 1〉 ||5, 1〉 ||5 , 3〉 ||5, 5〉 -||3---3-〉-|-2-3-2----2----2----2--2----2-2----2----2----2--2-2----2----2----2-2----2--2----2--2-- |2,− 2 〉 | 10 0 0 0 0 5 0√- 0 0 0 |3,− 1 | 0 -1 0 0 0 0 -6- 0 0 0 ||23 1 2〉 | 10 1- 5 √6- |23,23 〉 | 0 0 − 10 03 0 0 0 5 02 0 ||2,2 〉 | 0 0 0 − 10 0 0 0 0 5 0 ||52,− 52 〉 | 0 0 0 0 − 12 0 0 0 0 0 |5,− 3 | 2 0 0 0 0 − -3 0 0 0 0 ||25 21 〉 | 5 √6- 10 1- |2,− 2〉 | 0 5 0√- 0 0 0 − 10 0 0 0 ||52, 12 | 0 0 56- 0 0 0 0 110 0 0 |5, 3 〉 | 0 0 0 2 0 0 0 0 -3 0 ||25 25 〉 | 5 10 1 2,2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2

Operator Lx in the basis of ℓ = 2 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

||| 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1〉 || 1 〉 || 1〉 || 1〉 -|-----1〉-----|-2,2,-2----2,2,-−-2----2,1,-2----2,1,-−-2----2,0,-2----2,0,-−-2----2,-−-1,2----2,-−-1,−-2----2,-−-2,-2---2,-−-2,−--2-- ||2,2, 2 〉 | 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 |2,2,− 12 | 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 || 1〉 | ∘ 3- 2,1, 2 | 1 0 0 0 2 ∘0-- 0 0 0 0 || 1〉 | 3 2,1,− 2 | 0 1 ∘ 0-- 0 0 2 ∘0-- 0 0 0 ||2,0, 1〉 | 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 | 2 〉 | 2 ∘ -- 2 ∘ -- |2,0,− 1 | 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 | 2〉 | 2 ∘ -- 2 |2,− 1, 12 | 0 0 0 0 32 0 0 0 1 0 | 1〉 | ∘ 3- |2,− 1, − 2 | 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 ||2,− 2, 1〉 | 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 || 2 1〉 | 2,− 2, − 2 | 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

Operator Ly in the basis of ℓ = 2 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

|| 1〉 | 1〉 | 1〉 | 1〉 | 1〉 | 1〉 | 1〉 | 1 〉 | 1〉 | 1〉 -|------〉-----||2,2,-2---|2,2,-−-2---|2,1,-2---|2,1,-−-2---|2,0,-2---|2,0,-−-2---|2,-−-1,2---|2,-−-1,−-2----|2,-−-2,-2---|2,-−-2,−--2-- |2,2, 1 | 0 0 − i 0 0 0 0 0 0 0 ||2,2,−2 1〉 | 0 0 0 − i 0 0 0 0 0 0 | 〉2 | ∘ -- |2,1, 12 | i 0 0 0 − i 32 0 0 0 0 0 | 1〉 | ∘ -3 |2,1,− 2 | 0 i 0-- 0 0 − i 2 0 -- 0 0 0 || 1〉 | ∘ 3 ∘ 3 2,0, 2 | 0 0 i 2 ∘0-- 0 0 − i 2 0∘ -- 0 0 ||2,0,− 1〉 | 0 0 0 i 3 0 0 0 − i 3 0 0 | 2 | 2 ∘ -- 2 |2,− 1, 1〉 | 0 0 0 0 i 3 0 0 0 − i 0 | 2 〉 | 2 ∘ -- |2,− 1, − 1 | 0 0 0 0 0 i 3 0 0 0 − i || 1〉2 | 2 |2,− 2, 2 1〉 | 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 |2,− 2, − 2 | 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0

Operator Lz in the basis of ℓ = 2 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

|||2,2, 1〉 ||2,2, − 1〉 ||2,1, 1〉 ||2,1, − 1〉 ||2,0, 1〉 ||2,0, − 1〉 ||2, − 1, 1〉 ||2, − 1,− 1 〉 ||2, − 2, 1〉 ||2, − 2,− 1〉 -||-----1〉-----|------2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2-------------2------------2-------------2-- |2,2, 2 〉 | 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ||2,2,− 〉12 | 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 |2,1, 1 | 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ||2,1,−2 1〉 | 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 || 1〉2 | |2,0, 2 1〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ||2,0,− 2〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ||2,− 1, 12 〉 | 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 |2,− 1, − 1 | 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 || 1〉2 | |2,− 2, 2 1〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2 0 |2,− 2, − 2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2

Operator Lx in the basis of ℓ = 2 SO eigenfunctions |j,mj〉

||3 3〉 |3 1〉 |3 1〉 |3 3〉 |5 5〉 |5 3〉 |5 1〉 |5 1〉 |5 3〉 |5 5〉 -|------〉-||2,−-2---|2,√−-2---|2,-2---|2,-2---|2,−-2---|2-,−-2---|2,-−-2---|2,-2---|2,2---|2-,2--- |3,− 3 | 0 3-3- 0 0 − √1- 0 -√1- 0 0 0 |2 2 〉 | √- 5 5 √ - 5 2 √ -3 |3,− 1 | 3-3- 0 6 0 0 − --3 0 ---2 0 0 |23 1 2〉 | 5 6 5 3√3- 5 √ 3- 5 √3 ||2,2 | 0 5 0√ - -5-- 0 0 − --52 0 -5- 0 |3, 3 〉 | 0 0 3--3 0 0 0 0 − -1√-- 0 √1- ||25 2 5 〉 | -1- 5 -2- 5 2 5 |2,− 2 〉 | − √5 0√ - 0 0 0 √5- 0√ - 0 0 0 |5,− 3 | 0 − --3 0 0 √2- 0 4--2 0 0 0 |2 2 〉 | 5 √ 3- 5 √- 5 |5,− 1 | -1√-- 0 − ---2 0 0 4-2- 0 6 0 0 |2 2〉 | 5 2 √ 3- 5 5 5 √- |52, 12 | 0 -52- 0 − -1√-- 0 0 65 0 452- 0 ||5 3 〉 | √3- 5 2 4√2- -2- |2,2 〉 | 0 0 5 0 0 0 0 5 0 √5- |52, 52 | 0 0 0 1√5- 0 0 0 0 √25- 0

Operator Ly in the basis of ℓ = 2 SO eigenfunctions |j,mj〉

||3 3〉 |3 1〉 |3 1〉 |3 3〉 |5 5〉 |5 3 〉 |5 1〉 |5 1〉 |5 3〉 |5 5〉 -|--------||2,−-2---|2-,−√-2----|2-,2----|2,-2---|2,−--2---|2,−-2---|2-,−-2----|2,2----|2,2---|2-,2--- |3,− 3 〉 | 0 3i-3- 0 0 √i- 0 -i√-- 0 0 0 |2 2 〉 | √ - 5 5 √- 5 2 ∘ -- |32,− 12 |− 3i5-3 0 6i5 0 0 i53- 0 15i 32 0 0 | 〉 | √- ∘ -- √- |32, 12 | 0 − 6i5- 0 3i53- 0 0 15i 32 0 i53- 0 ||3 3 〉 | 3i√3- -i-- -i- |2,2 〉 | 0 0 − 5 0 0 0 0 5√2 0 √ 5 |52,− 52 | − √i5- 0 0 0 0 √25i 0 0 0 0 ||5 3 〉 | i√3-- 2√i- 4i√2- |2,− 2 | 0 − 5 0∘ -- 0 − 5 0√ - 5 0 0 0 |5,− 1 〉 | − -i√-- 0 − 1i 3 0 0 − 4i-2- 0 6i 0 0 |2 2〉 | 5 2 ∘ -- 5 2 5 5 √ - |5, 1 | 0 − 1i 3 0 − -√i- 0 0 − 6i 0 4i-2- 0 |25 23 〉 | 5 2 i√3- 5 2 5 4i√2- 5 2i ||2,2 〉 | 0 0 − -5-- 0 0 0 0 − -5--- 0 √5- |5, 5 | 0 0 0 − √i- 0 0 0 0 − √2i 0 2 2 5 5

Operator Lz in the basis of ℓ = 2 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||3,− 3〉 ||3, − 1〉 ||3, 1〉 ||3, 3〉 ||5 ,− 5〉 ||5,− 3〉 ||5,− 1〉 ||5, 1〉 ||5 , 3〉 ||5, 5〉 -||3---3-〉-|-2--92----2----2----2--2----2-2----2----2----2---22----2----2----2-2----2--2----2--2-- |2,− 2 〉 | − 5 0 0 0 0 − 5 0√- 0 0 0 |3,− 1 | 0 − 3 0 0 0 0 − -6- 0 0 0 ||23 1 2〉 | 5 3 5 √6- |23,23 〉 | 0 0 5 09 0 0 0 − 5 02 0 ||2,2 〉 | 0 0 0 5 0 0 0 0 − 5 0 ||52,− 52 〉 | 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 0 |5,− 3 | − 2 0 0 0 0 − 6 0 0 0 0 ||25 21 〉 | 5 √6- 5 2 |2,− 2〉 | 0 − 5 0√- 0 0 0 − 5 0 0 0 ||52, 12 | 0 0 − 56- 0 0 0 0 25 0 0 |5, 3 〉 | 0 0 0 − 2 0 0 0 0 6 0 ||25 25 〉 | 5 5 2,2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2

Operator Lx + 2Sx in the basis of ℓ = 2 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||3 3〉 ||3 1〉 ||3 1〉 ||3 3〉 ||5 5〉 ||5 3〉 ||5 1〉 ||5 1〉 ||5 3〉 ||5 5〉 -|------〉-|-2,−-2----2,√−-2----2,-2----2,2----2-,−-2----2,−--2----2,−--2----2,2----2-,2----2,-2--- |32,− 32 | 0 253- 0 0 √1- 0 − -1√-- 0 0 0 | 〉 | √- 5 √- 5 2 √ 3- |32,− 12 | 253- 0 45 0 0 -35- √0-- − -52- 0 0 ||3 1 〉 | 4 2√3- ---32 √3- |2,2 〉 | 0 5 0√ - 5 0 0 5 0 − 5 0 |3, 3 | 0 0 2--3 0 0 0 0 -1√-- 0 − √1- ||25 2 5 〉 | √1- 5 √3- 5 2 5 |2,− 2 〉 | 5 √0- 0 0 0 5 0√ - 0 0 0 |52,− 32 | 0 -53 0 0 √3- 0 65-2 0 0 0 | 〉 | √ -3 5 √ - |52,− 12 | − 51√2- 0 -5-2 0 0 6-52 0 95 0 0 |5 1 〉 | √ 3- 1 9 6√2 |2,2 | 0 − -52- 0 - 5√2- 0 0 5 0- -5-- 0 ||5, 3 〉 | 0 0 − √3- 0 0 0 0 6√2- 0 √3- |25 25 〉 | 5 1 5 3 5 |2,2 | 0 0 0 − √5- 0 0 0 0 √5- 0

Operator Ly + 2Sy in the basis of ℓ = 2 SO eigenfunctions |j,mj〉

|| 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 ----------||32,−-32---|32,-−-12---|32-, 12---|32, 32--|52,-−-52---|52,−--32---|52,−-12-----|52, 12----|52, 32--|52,-52--- ||3 3 〉 | 2i√3- √i- -i√-- |2,− 2 〉 | 0√ - 5 0 0 − 5 0√ - − 5 2 0∘ -- 0 0 |3,− 1 |− 2i--3 0 4i- 0 0 − i--3 0 − 1i 3 0 0 |2 2〉 | 5 5 √ - 5 ∘ -- 5 2 √- |3, 1 | 0 − 4i 0 2i--3 0 0 − 1i 3 0 − i-3- 0 |23 23 〉 | 5 2i√3 5 5 2 i 5 i ||2,2 〉 | 0 0 − --5-- 0 0 0 0 − 5√2- 0 − √5- |5,− 5 | √i- 0 0 0 0 3√i- 0 0 0 0 |25 23 〉 | 5 i√3- 3i 5 6i√2- |2,− 2 | 0 -5-- 0∘ -- 0 − √5- 0 -5--- 0 0 0 ||5 1 〉 | -i√-- 1 3 6i√2-- 9i 2,− 2 | 5 2 0∘ -- 5i 2 0 0 − 5 0 5 0√ - 0 ||5, 1 〉 | 0 1 i 3 0 -i√-- 0 0 − 9i 0 6i--2 0 |2 2 〉 | 5 2 √ - 5 2 5 √ - 5 |52, 32 | 0 0 i53- 0 0 0 0 − 6i5-2- 0 3√i- ||5, 5 〉 | 0 0 0 √i- 0 0 0 0 − √3i 50 2 2 | 5 5

Operator Lz + 2Sz in the basis of ℓ = 2 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||3,− 3〉 ||3, − 1〉 ||3, 1〉 ||3, 3〉 ||5 ,− 5〉 ||5,− 3〉 ||5,− 1〉 ||5, 1〉 ||5 , 3〉 ||5, 5〉 -||3---3-〉-|-2--62----2----2----2--2----2-2----2----2----2--2-2----2----2----2-2----2--2----2--2-- |2,− 2 〉 | − 5 0 0 0 0 5 0√- 0 0 0 |3,− 1 | 0 − 2 0 0 0 0 -6- 0 0 0 ||23 1 2〉 | 5 2 5 √6- |23,23 〉 | 0 0 5 06 0 0 0 5 02 0 ||2,2 〉 | 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 ||52,− 52 〉 | 0 0 0 0 − 3 0 0 0 0 0 |5,− 3 | 2 0 0 0 0 − 9 0 0 0 0 ||25 21 〉 | 5 √6- 5 3 |2,− 2〉 | 0 5 0√- 0 0 0 − 5 0 0 0 ||52, 12 | 0 0 56- 0 0 0 0 35 0 0 |5, 3 〉 | 0 0 0 2 0 0 0 0 9 0 ||25 25 〉 | 5 5 2,2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

∙ f orbitals ℓ = 3

SO Hamiltonian HSO = ζL ⋅ S in the basis of ℓ = 3 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉 (excluding SO coupling constant ζ)

|||3,3, 1〉 ||3,3, − 1〉 ||3,2, 1〉 ||3,2, − 1〉 ||3,1, 1〉 ||3,1, − 1〉 ||3, 0, 1〉 ||3, 0,− 1 〉 ||3, − 1, 1 〉 ||3, − 1,− 1〉 ||3, & -||-----1〉-----|----3-2-----------2---------2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2--------------2-----------2-------------2-----------2-------------2--- |3,3, 2 〉 | 2 0 ∘ 0-- 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |3,3,− 1 | 0 − 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 | 〉2 | ∘ 2- 2 |3,2, 1 | 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 | 2 〉 | 2 ∘ -- |3,2,− 12 | 0 0 0 − 1 52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 | 1〉 | ∘ 5- 1 |3,1, 2 | 0 0 0 2 2 0 0-- 0 0 0 0 0 0 0 ||3,1,− 1〉 | 0 0 0 0 0 − 1 √ 3 0 0 0 0 0 0 0 || 1〉2 | √ 2- |3,0, 2 〉 | 0 0 0 0 0 3 0 0 √0-- 0 0 0 0 0 ||3,0,− 12〉 | 0 0 0 0 0 0 0 √0-- 3 0 0 0 0 0 |3,− 1, 1 | 0 0 0 0 0 0 0 3 − 1 0 0 0 0 0 | 2 1〉 | 2 1 ∘ 5- |3,− 1, − 2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 || 1〉 | ∘ 5- 3,− 2, 2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 − 1 0 ∘0-- 0 || 1〉 | 3 3,− 2, − 2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∘1-- 2 0 ||3,− 3, 1〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 − 3 0 | 2 1〉 | 2 2 3 |3,− 3, − 2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2

HSO Eigenfunctions in the basis of ℓ = 3 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉
(eigenvalues: −2 for j = 5∕2, +3∕2 for j = 7∕2, times ζ)

|||5,− 5〉 ||5,− 3〉 ||5 ,− 1〉 ||5, 1〉 ||5, 3 〉 ||5, 5〉 ||7, − 7〉 ||7,− 5〉 ||7,− 3〉 ||7 ,− 1〉 ||7, 1〉 ||7, 3 ' -||-----1〉-----|-2----2----2---2----2----2----2--2----2-2-----2-2----2----2----2----2----2---2----2----2----2--2----2-2-----2-2----2--2--- |3,3, 2 〉 | 0 0 0 0 0 0∘ -- 0 0 0 0 0 0 0 1 |3,3,− 1 | 0 0 0 0 0 − 6 0 0 0 0 0 0 √1- 0 | 〉2 | 7 ∘ 7- |3,2, 1 | 0 0 0 0 0 √1- 0 0 0 0 0 0 6 0 | 2 〉 | ∘ -- 7 ∘ -- 7 |3,2,− 12 | 0 0 0 0 − 57 0 0 0 0 0 0 27 0 0 | 1〉 | ∘ 2- ∘ 5- |3,1, 2 | 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 -- 7 0 0 || 1〉 | -2- ∘ 3 3,1,− 2 | 0 0 0 −∘ √7- 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 ||3,0, 1〉 | 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 √2- 0 0 0 | 2 | ∘ -- 7 7 |3,0,− 1〉 | 0 0 − 3 0 0 0 0 0 0 √2- 0 0 0 0 | 2〉 | 7 ∘ 7- |3,− 1, 1 | 0 0 √2- 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 | 2 〉 | ∘ -- 7 ∘ -- 7 |3,− 1, − 12 | 0 − 27 0 0 0 0 0 0 57 0 0 0 0 0 | 1〉 | ∘ 5- ∘ 2- |3,− 2, 2 | 0 7 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 || 1〉 | 1-- ∘ -6 3,− 2, − 2 | −∘ √7 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 || 1〉 | 6 1√-- |3,− 3, 2 〉 | 7 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 |3,− 3, − 12 | 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Kramers-conjugates |j,mj〉′ of the HSO Eigenfunctions in the basis of ℓ = 3 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

|||5,− 5〉’ ||5 ,− 3〉’ ||5,− 1〉’ ||5, 1〉’ ||5, 3〉’ ||5, 5〉’ ||7,− 7〉’ ||7,− 5〉’ ||7,− 3〉’ ||7,− 1 -||-----1〉-----|-2----2----2----2-----2----2-----2-2-----2--2-----2-2-----2----2-----2---2-----2----2-----2---2-----2--2-----2-2-----2--2-----2-2---- |3,3, 2 〉 | ∘0 -- 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 |3,3,− 1 | − 6 0 0 0 0 0 0 − 1√-- 0 0 0 0 0 0 | 〉2 | 7 ∘ 7- |3,2, 1 | √1- 0 0 0 0 0 0 − 6 0 0 0 0 0 0 | 2 〉 | 7 ∘ -- 7 ∘ -- |3,2,− 12 | 0 57 0 0 0 0 0 0 27 0 0 0 0 0 | 1〉 | ∘ -2 ∘ 5- |3,1, 2 | 0 − 7 0 0 0 0 0 0 7 0 -- 0 0 0 0 || 1〉 | -2- ∘ 3 3,1,− 2 | 0 0 −∘ √7- 0 0 0 0 0 0 − 7 0 0 0 0 ||3,0, 1〉 | 0 0 3 0 0 0 0 0 0 − 2√-- 0 0 0 0 | 2 | 7 ∘ -- 7 |3,0,− 1〉 | 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 √2- 0 0 0 | 2〉 | 7 ∘ 7- |3,− 1, 1 | 0 0 0 − 2√-- 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 | 2 〉 | 7 ∘ -- 7 ∘ -- |3,− 1, − 12 | 0 0 0 0 − 27 0 0 0 0 0 0 − 57 0 0 | 1〉 | ∘ 5- ∘ -2 |3,− 2, 2 | 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 − 7 0 0 || 1〉 | 1-- ∘ 6- 3,− 2, − 2 | 0 0 0 0 0 √∘7-- 0 0 0 0 0 0 7 0 || 1〉 | 6 √1- |3,− 3, 2 〉 | 0 0 0 0 0 − 7 0 0 0 0 0 0 7 0 |3,− 3, − 12 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1

Operator Sx in the basis of ℓ = 3 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

|||3,3, 1〉 ||3,3, − 1〉 ||3,2, 1〉 ||3,2, − 1〉 ||3,1, 1〉 ||3,1, − 1〉 ||3, 0, 1〉 ||3, 0,− 1 〉 ||3, − 1, 1 〉 ||3, − 1,− 1〉 ||3, & -||-----1〉-----|------2--------1--2---------2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2--------------2-----------2-------------2-----------2-------------2--- |3,3, 2 〉 | 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,3,− 〉12 | 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |3,2, 1 | 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,2,−2 1〉 | 0 0 1 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 || 1〉2 | 2 1 |3,1, 2 1〉 | 0 0 0 0 01 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,1,− 〉2 | 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,0, 12 〉 | 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 |3,0,− 1 | 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 || 21〉 | 2 1 |3,− 1, 2 1〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 01 2 0 0 0 0 ||3,− 1, −〉2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 ||3,− 2, 12 〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 |3,− 2, − 1 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ||3,− 3, 1〉2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 1 || 2 1〉 | 1 2 3,− 3, − 2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0

Operator Sy in the basis of ℓ = 3 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

|||3,3, 1〉 ||3,3, − 1〉 ||3,2, 1〉 ||3,2, − 1〉 ||3,1, 1〉 ||3,1, − 1〉 ||3, 0, 1〉 ||3, 0,− 1 〉 ||3, − 1, 1 〉 ||3, − 1,− 1〉 ||3, & -||-----1〉-----|------2---------i-2---------2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2--------------2-----------2-------------2-----------2-------------2--- |3,3, 2 〉 | 0 − 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,3,− 〉12 | i2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |3,2, 1 | 0 0 0 − i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 || 2 1〉 | i 2 |3,2,−1〉2 | 0 0 2 0 0 0i 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,1, 2 〉 | 0 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,1,− 〉12 | 0 0 0 0 i2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |3,0, 1 | 0 0 0 0 0 0 0 − i 0 0 0 0 0 0 || 2 1〉 | i 2 |3,0,− 21〉 | 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0i 0 0 0 0 ||3,− 1, 2 〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 |3,− 1, − 12 | 0 0 0 0 0 0 0 0 i2 0 0 0 0 0 ||3,− 2, 1〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − -i 0 0 || 2 1〉 | i 2 |3,− 2, −1〉2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 i ||3,− 3, 2 〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2 |3,− 3, − 1 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 2 2

Operator Sz in the basis of ℓ = 3 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

|||3,3, 1〉 ||3,3, − 1〉 ||3,2, 1〉 ||3,2, − 1〉 ||3,1, 1〉 ||3,1, − 1〉 ||3, 0, 1〉 ||3, 0,− 1 〉 ||3, − 1, 1 〉 ||3, − 1,− 1〉 ||3, & -||-----1〉-----|----1-2-----------2---------2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2--------------2-----------2-------------2-----------2-------------2--- |3,3, 2 〉 | 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,3,− 〉12 | 0 − 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |3,2, 1 | 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,2,−2 1〉 | 0 0 20 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 || 1〉2 | 2 1 |3,1, 2 1〉 | 0 0 0 0 2 01 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,1,− 〉2 | 0 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,0, 12 〉 | 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 |3,0,− 1 | 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 || 21〉 | 2 1 |3,− 1, 2 1〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 2 01 0 0 0 0 ||3,− 1, −〉2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 ||3,− 2, 12 〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 |3,− 2, − 1 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 ||3,− 3, 1〉2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 1 0 || 2 1〉 | 2 1 3,− 3, − 2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2

Operator Sx in the basis of ℓ = 3 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||5,− 5〉 ||5, − 3〉 ||5,− 1〉 ||5, 1〉 ||5, 3 〉 ||5, 5〉 ||7,− 7〉 ||7 ,− 5〉 ||7,− 3〉 ||7,− 1 〉 ||7, 1〉 ||7, 3⟩ -|------〉-|-2---2----2--√-2----2----2----2-2-----2-2------2-2-----2∘---2----2----2----2----2----2---2-----2-2----2--2----2--2-----2--2--- |52,− 52 | 0 − 145 0 0 0 0 314 0 − -√1- 0 0 0 0 0 | 〉 | √ - √- √ -15- 7 2 √ -3 |52,− 32 | − -154 0 - − -27- 0 0 0 0 --72- 0- − -7-2 0 - 0 0 0 ||5,− 1 〉 | 0 − √-2 0 − 3- 0 0 0 0 √5- 0 − √-3 0 0 0 |25 1 2〉 | 7 3 14 √2 7 √3 7 √5 |2,2 | 0 0 − 14 0 − 7-- 0 0 0 0 7-- √0-- − -7- √0--- 0 ||5 3 〉 | √2- √5- --32- ---125 |2,2 〉 | 0 0 0 − 7 0√- − 14 0 0 0 0 7 0 − 7 0∘ --- |5, 5 | 0 0 0 0 − -5- 0 0 0 0 0 0 √1-- 0 − -3 |2 2 〉 | ∘ --- 14 7 2 14 |72,− 72 | 314 0 0 0 0 0 0 -1√-- 0 0 0 0 0 0 | 〉 | √ -15- 2 7 √- |72,− 52 | 0 --72- 0 0 0 0 -1√-- 0 -37- 0 0 0 0 0 ||7 3 〉 | -1-- √5- 2 7 √3- √15- 2,− 2 | − 7√2 0√ -- 7 0 0 0 0 7 0 14 0 0 0 0 ||7 1 〉 | --32- √3- √15- 2 |2,− 2〉 | 0 − 7 0√- 7 √0-3 0 0 0 14 0 7 √0- 0 0 |7, 1 | 0 0 − -3- 0 ---2 0 0 0 0 2 0 -15- 0 0 ||27 23 〉 | 7 √5- 7 -1-- 7 √15- 14 √3- 2,2 | 0 0 0 − 7 0√ --- 7√2 0 0 0 0 14 0 7 0 ||7 5 〉 | --152- √3- --1- 2,2 | 0 0 0 0 − 7 ∘0--- 0 0 0 0 0 7 0 2√ 7 ||7, 7 〉 | 0 0 0 0 0 − 3- 0 0 0 0 0 0 -1√-- 0 2 2 14 2 7

Operator Sy in the basis of ℓ = 3 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||5,− 5〉 ||5, − 3〉 ||5,− 1〉 ||5, 1〉 ||5, 3〉 ||5, 5〉 ||7,− 7〉 ||7, − 5〉 ||7,− 3〉 ||7 ,− 1〉 ||7 , 1〉 ||7, 3ɾ -|------〉-|-2---2----2--√-2----2----2----2-2-----2--2----2--2----2-∘--2----2----2-----2---2----2----2-----2--2-----2--2------2-2-------2-2---- |52,− 52 | 0 − i145- 0 0 0 0 − i 314 0 − -i√-- 0 0 0 0 0 |5 3 〉 | i√5 i√2- 1 ∘ -15 7 2 1 ∘ 3- |2,− 2 | -14-- 0 − --7- 0 0 0 0 − 7i 2- 0 − 7i 2 0 0 0 0 ||5 1 〉 | i√2-- 3i i√5- i√3-- |2,− 2〉 | 0 7 0 − 14 0√ - 0 0 0 − 7 0√ - − 7 0√ - 0 0 |52, 12 | 0 0 31i4 0 − i7-2 0 0 0 0 − i73- 0∘ -- − i75- 0∘ --- 0 ||5 3 〉 | i√2- i√5-- 1 3 1 15 2,2 | 0 0 0 7 0√ - − 14 0 0 0 0 − 7i 2 0 − 7 i 2 0∘ --- ||5, 5 〉 | 0 0 0 0 i--5 0 0 0 0 0 0 − √i-- 0 − i -3 |2 2 〉 | ∘ --- 14 7 2 14 |7,− 7 | i -3 0 0 0 0 0 0 √i-- 0 0 0 0 0 0 |2 2 〉 | 14 ∘ --- 2 7 √- |7,− 5 | 0 1i 15 0 0 0 0 − -√i- 0 i-3- 0 0 0 0 0 |27 23 〉 | i 7 2 i√5- 2 7 i√3- 7 i√15- |2,− 2 | 7√2- 0∘ -- -7-- 0 0 0 0 − -7-- 0 -14-- 0 0 0 0 ||7 1 〉 | 1 3 i√3- i√15-- 2i- 2,− 2 | 0 7 i 2 0√ - 7 0∘ -- 0 0 0 − 14 0 7 √0- 0 0 ||7, 1 〉 | 0 0 i--3 0 1i 3 0 0 0 0 − 2i 0 i-15- 0 0 |2 2 〉 | 7 √- 7 2 7 √ -- 14 √- |72, 32 | 0 0 0 i75- 0 -√i- 0 0 0 0 − i1415- 0 i73- 0 |7 5 〉 | 1 ∘ 15- 7 2 i√3- i |2,2 | 0 0 0 0 7i -2 0--- 0 0 0 0 0 − -7-- 0 2√7- ||7 7 〉 | ∘ 3- -i-- 2,2 0 0 0 0 0 i 14 0 0 0 0 0 0 − 2√7 0

Operator Sz in the basis of ℓ = 3 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||5,− 5〉 ||5, − 3〉 ||5,− 1〉 ||5, 1〉 ||5 , 3〉 ||5, 5〉 ||7,− 7 〉 ||7,− 5〉 ||7 ,− 3〉 ||7,− 1〉 ||7, 1 〉 ||7, 3〉 & -|5---5-〉-|-2-5-2----2----2----2----2----2-2----2--2----2--2----2---2-----2√6-2----2----2----2----2----2-2-----2-2----2--2----2-2--- ||2,− 2 | 14- 0 0 0 0 0 0 -7- √0- 0 0 0 0 0 |5,− 3 〉 | 0 -3 0 0 0 0 0 0 -10- 0 0 0 0 0 |25 21 〉 | 14 1 7 2√3- ||2,− 2〉 | 0 0 14 0 0 0 0 0 0 --7- 0√ - 0 0 0 |5, 1 | 0 0 0 − 1- 0 0 0 0 0 0 2--3 0 0 0 ||25 23 〉 | 14 -3 7 √10- |2,2 〉 | 0 0 0 0 − 14 0 0 0 0 0 0 7 0√- 0 ||52, 52 〉 | 0 0 0 0 0 − 154 0 0 0 0 0 0 -67- 0 |7,− 7 | 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 ||27 25 〉 | √6- 2 5- |2,− 2 〉 | 7 √0- 0 0 0 0 0 − 14 0 0 0 0 0 0 |7,− 3 | 0 -10- 0 0 0 0 0 0 − -3 0 0 0 0 0 ||27 21 〉 | 7 2√3- 14 -1 |2,− 2〉 | 0 0 7 0√- 0 0 0 0 0 − 14 0 0 0 0 |72, 12 | 0 0 0 273- √0- 0 0 0 0 0 114 0 0 0 ||7, 3 〉 | 0 0 0 0 -10- 0 0 0 0 0 0 -3 0 0 |27 25 〉 | 7 √6 14 5 ||2,2 〉 | 0 0 0 0 0 -7- 0 0 0 0 0 0 14 0 |7, 7 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2

Operator Lx in the basis of ℓ = 3 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

|||3,3, 1〉 ||3,3, − 1〉 ||3,2, 1〉 ||3,2, − 1〉 ||3,1, 1〉 ||3,1, − 1〉 ||3, 0, 1〉 ||3, 0,− 1 〉 ||3, − 1, 1 〉 ||3, − 1,− 1〉 ||3, & -|------〉-----|------2-----------2-----∘---2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2--------------2-----------2-------------2-----------2-------------2--- |3,3, 12 | 0 0 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 | 1〉 | ∘ 3- |3,3,− 2 | 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 || 1〉 | ∘ -3 ∘ 5- 3,2, 2 | 2 ∘0 -- 0 0 2 ∘0-- 0 0 0 0 0 0 0 0 || 1〉 | 3 5 3,2,− 2 | 0 2 ∘ 0-- 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,1, 1〉 | 0 0 5 0 0 0 √3-- 0 0 0 0 0 0 0 | 2 〉 | 2 ∘ -- √ -- |3,1,− 1 | 0 0 0 5 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 | 1〉2 | 2 √ -- √ -- ||3,0, 2 〉 | 0 0 0 0 3 √0-- 0 0 3 √0-- 0 0 0 0 |3,0,− 1 | 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 0 || 21〉 | √ -- ∘ 5- 3,− 1, 2 | 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 2 ∘0-- 0 0 || 1〉 | √ -- 5 3,− 1, − 2 | 0 0 0 0 0 0 0 3 ∘0-- 0 0 2 ∘0-- 0 ||3,− 2, 1〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 3 0 | 2 〉 | 2 ∘ -- 2 ∘ -- |3,− 2, − 1 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 3 | 〉2 | 2 ∘ -- 2 |3,− 3, 12 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32 0 0 0 | 〉 | ∘ -- |3,− 3, − 12 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32 0 0

Operator Ly in the basis of ℓ = 3 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

|||3,3, 1〉 ||3,3, − 1〉 ||3,2, 1〉 ||3,2, − 1〉 ||3,1, 1〉 ||3,1, − 1〉 ||3, 0, 1〉 ||3, 0,− 1 〉 ||3, − 1, 1 〉 ||3, − 1,− 1〉 ||3, & -|------〉-----|------2-----------2-------∘-2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2--------------2-----------2-------------2-----------2-------------2--- |3,3, 12 | 0 0 − i 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 | 1〉 | ∘ 3- |3,3,− 2 | 0 0 0 − i 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 || 1〉 | ∘ 3- ∘ 5- 3,2, 2 | i 2 0∘ -- 0 0 − i 2 0∘ -- 0 0 0 0 0 0 0 0 || 1〉 | 3 5 3,2,− 2 | 0 i 2 ∘0-- 0 0 − i 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,1, 1〉 | 0 0 i 5 0 0 0 − i√3-- 0 0 0 0 0 0 0 | 2 〉 | 2 ∘ -- √ -- |3,1,− 1 | 0 0 0 i 5 0 0 0 − i 3 0 0 0 0 0 0 | 1〉2 | 2 √ -- √ -- ||3,0, 2 〉 | 0 0 0 0 i 3 √0-- 0 0 − i 3 0√ -- 0 0 0 0 |3,0,− 1 | 0 0 0 0 0 i 3 0 0 0 − i 3 0 0 0 0 || 21〉 | √ -- ∘ 5- 3,− 1, 2 | 0 0 0 0 0 0 i 3 0 0 0 − i 2 0∘ -- 0 0 || 1〉 | √ -- 5 3,− 1, − 2 | 0 0 0 0 0 0 0 i 3 ∘0-- 0 0 − i 2 0∘ -- 0 ||3,− 2, 1〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 i 5 0 0 0 − i 3 0 | 2 〉 | 2 ∘ -- 2 ∘ -- |3,− 2, − 1 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i 5 0 0 0 − i 3 | 〉2 | 2 ∘ -- 2 |3,− 3, 12 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i 32 0 0 0 | 〉 | ∘ -- |3,− 3, − 12 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i 32 0 0

Operator Lz in the basis of ℓ = 3 spin-orbitals |l,mℓ,ms〉

|||3,3, 1〉 ||3,3, − 1〉 ||3,2, 1〉 ||3,2, − 1〉 ||3,1, 1〉 ||3,1, − 1〉 ||3, 0, 1〉 ||3, 0,− 1 〉 ||3, − 1, 1 〉 ||3, − 1,− 1〉 ||3, & -||-----1〉-----|------2-----------2---------2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2--------------2-----------2-------------2-----------2-------------2--- |3,3, 2 〉 | 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,3,− 〉12 | 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |3,2, 1 | 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,2,−2 1〉 | 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 || 1〉2 | |3,1, 2 1〉 | 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,1,− 〉2 | 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ||3,0, 12 〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |3,0,− 1 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 || 21〉 | |3,− 1, 2 1〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 ||3,− 1, −〉2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 ||3,− 2, 12 〉 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2 0 0 0 |3,− 2, − 1 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2 0 0 ||3,− 3, 1〉2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 3 0 || 2 1〉 | 3,− 3, − 2 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 3

Operator Lx in the basis of ℓ = 3 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||5,− 5〉 ||5, − 3〉 ||5,− 1〉 ||5, 1〉 ||5, 3〉 ||5 , 5〉 ||7,− 7〉 ||7,− 5 〉 ||7,− 3〉 ||7 ,− 1〉 ||7, 1〉 ||7, 3〉 & -|------〉-|-2---2----2-√--2----2----2----2-2-----2-2----2--2----2-∘--2----2---2-----2---2----2----2----2--2----2--2----2-2----2--2--- |52,− 52 | 0 475- 0 0 0 0 − 134 0 -1√-- 0 0 0 0 0 | 〉 | √- √ - √ 15- 7 2 √ 3- |52,− 32 | 475- 0- 87-2 0 0 0 0 − -7-2- 0 - -72- 0- 0 0 0 ||5,− 1 〉 | 0 8√-2- 0 12 0 0 0 0 − √-5 0 √3- 0 0 0 |25 1 2〉 | 7 12 7 8√2 7 √3- 7 √5 |2,2 | 0 0 7- 0 -7-- 0 0 0 0 − -7- 0√ -- 7-- √0--- 0 ||5 3 〉 | 8√2- 4√5- ---32 --125- |2,2 〉 | 0 0 0 7 0√- 7 0 0 0 0 − 7 0 7 ∘ 0-- |5, 5 | 0 0 0 0 4-5- 0 0 0 0 0 0 − -1√-- 0 3- |2 2 〉 | ∘ --- 7 7 2 14 |72,− 72 |− 314 0 0 0 0 0 0 3√-- 0 0 0 0 0 0 | 〉 | √ -15- 7 √- |72,− 52 | 0 − --72- 0 0 0 0 √3- 0 673- 0 0 0 0 0 ||7 3 〉 | -1-- √5- 7 6√3- 3√15- 2,− 2 | 7√2 √0-- − 7 0 0 0 0 7 0 7 0 0 0 0 ||7 1 〉 | --32- √3- 3√15- 12 |2,− 2〉 | 0 7 0√- − 7 0√ 3- 0 0 0 7 0 7 0√-- 0 0 |7, 1 | 0 0 -3- 0 − --2- 0 0 0 0 12 0 3-15- 0 0 ||27 23 〉 | 7 √5- 7 -1-- 7 3√15- 7 6√3- 2,2 | 0 0 0 7 √ 0--- − 7√2 0 0 0 0 7 0 7 0 ||7 5 〉 | ---125 6√3- -3- 2,2 | 0 0 0 0 7 ∘ 0-- 0 0 0 0 0 7 0 √ 7 ||7, 7 〉 | 0 0 0 0 0 -3 0 0 0 0 0 0 √3- 0 2 2 14 7

Operator Ly in the basis of ℓ = 3 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||5,− 5〉 ||5,− 3 〉 ||5,− 1〉 ||5, 1〉 ||5, 3〉 ||5, 5〉 ||7,− 7 〉 ||7 ,− 5〉 ||7, − 3〉 ||7,− 1〉 ||7, 1〉 ||7, 3&# -|------〉-|-2---2-----2-√-2-----2----2----2--2------2--2------2--2-----2∘--2----2----2----2----2----2----2-----2-2------2-2-----2--2----2--2--- |52,− 52 | 0 4i7-5- 0 0 0 0 i 134 0 -√i- 0 0 0 0 0 |5 3 〉 | 4i√5- 8i√2 1 ∘ 15- 7 2 1 ∘ 3- |2,− 2 |− --7-- 0 --7-- 0 0 0 0 7i 2- 0 7i 2 0 0 0 0 ||5 1 〉 | 8i√2-- 12i i√5-- i√3- |2,− 2〉 | 0 − 7 0 7 0√ - 0 0 0 7 0√ - 7 0√- 0 0 |52, 12 | 0 0 − 127i 0 8i7-2- 0 0 0 0 i7-3 0∘ -- i75- 0∘ --- 0 ||5 3 〉 | 8i√2- 4i√5- 1 3 1 15 2,2 | 0 0 0 − 7 0√ - 7 0 0 0 0 7i 2 0 7i 2 ∘0--- ||5, 5 〉 | 0 0 0 0 − 4i-5- 0 0 0 0 0 0 -i√-- 0 i 3- |2 2 〉 | ∘ --- 7 7 2 14 |7,− 7 |− i -3 0 0 0 0 0 0 √3i 0 0 0 0 0 0 |2 2 〉 | 14 ∘ --- 7 √- |7,− 5 | 0 − 1i 15 0 0 0 0 − √3i 0 6i-3- 0 0 0 0 0 |27 23 〉 | i 7 2 i√5- 7 6i√3- 7 3i√15- |2,− 2 | − 7√2- 0∘ -- − -7-- 0 0 0 0 − --7-- 0 --7--- 0 0 0 0 ||7 1 〉 | 1 3 i√3-- 3i√15-- 12i 2,− 2 | 0 − 7i 2 0√ - − 7 0∘ -- 0 0 0 − 7 0 7 0√-- 0 0 ||7, 1 〉 | 0 0 − i-3- 0 − 1i 3 0 0 0 0 − 12i 0 3i-15- 0 0 |2 2 〉 | 7 √ - 7 2 7 √-- 7 √- |72, 32 | 0 0 0 − i75- 0 − -√i- 0 0 0 0 − 3i715- 0 6i73- 0 |7 5 〉 | 1 ∘ 15- 7 2 6i√3- 3i |2,2 | 0 0 0 0 − 7i -2 0 --- 0 0 0 0 0 − --7-- 0 √7- ||7 7 〉 | ∘ 3- 3i- 2,2 0 0 0 0 0 − i 14 0 0 0 0 0 0 − √7 0

Operator Lz in the basis of ℓ = 3 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||5,− 5〉 ||5, − 3〉 ||5,− 1〉 ||5, 1 〉 ||5, 3〉 ||5 , 5〉 ||7,− 7〉 ||7,− 5 〉 ||7,− 3〉 ||7 ,− 1〉 ||7, 1〉 ||7, 3〉 & -|5---5-〉-|-2--220----2----2----2----2----2-2-----2-2----2--2----2----2----2--√26-----2---2----2----2----2--2----2--2----2-2----2--2--- ||2,− 2 | − 7- 0 0 0 0 0 0 − 7-- 0√-- 0 0 0 0 0 |5,− 3 〉 | 0 − 12 0 0 0 0 0 0 − -10- 0 0 0 0 0 |25 21 〉 | 7 4 7 2√3 ||2,− 2〉 | 0 0 − 7 0 0 0 0 0 0 − -7-- 0√ - 0 0 0 |5, 1 | 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 − 2--3 0 0 0 ||25 23 〉 | 7 12 7 √10- |2,2 〉 | 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 − 7 0√ - 0 ||52, 52 〉 | 0 0 0 0 0 207 0 0 0 0 0 0 − -76 0 |7,− 7 | 0 0 0 0 0 0 − 3 0 0 0 0 0 0 0 ||27 25 〉 | √6- 15 |2,− 2 〉 | − 7 0√-- 0 0 0 0 0 − 7 0 0 0 0 0 0 |7,− 3 | 0 − -10- 0 0 0 0 0 0 − 9 0 0 0 0 0 ||27 21 〉 | 7 2√3- 7 3 |2,− 2〉 | 0 0 − 7 0√ - 0 0 0 0 0 − 7 0 0 0 0 |72, 12 | 0 0 0 − 27-3 0√-- 0 0 0 0 0 37 0 0 0 ||7, 3 〉 | 0 0 0 0 − -10- 0 0 0 0 0 0 9 0 0 |27 25 〉 | 7 √6- 7 15 ||2,2 〉 | 0 0 0 0 0 − -7- 0 0 0 0 0 0 7- 0 |7, 7 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 2

Operator Lx + 2Sx in the basis of ℓ = 3 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||5,− 5〉 ||5, − 3〉 ||5,− 1〉 ||5, 1〉 ||5, 3 〉 ||5, 5〉 ||7,− 7〉 ||7 ,− 5〉 ||7,− 3〉 ||7,− 1 〉 ||7, 1〉 ||7, 3⟩ -|------〉-|-2---2----2-√--2----2----2----2-2-----2-2------2-2-----2∘---2----2----2----2----2----2---2-----2-2----2--2----2--2-----2--2--- |52,− 52 | 0 375- 0 0 0 0 314 0 − -√1- 0 0 0 0 0 | 〉 | √- √ - √ -15- 7 2 √ -3 |52,− 32 | 375- 0- 67-2 0 0 0 0 --72- 0- − -7-2 0 - 0 0 0 ||5,− 1 〉 | 0 6√-2- 0 9 0 0 0 0 √5- 0 − √-3 0 0 0 |25 1 2〉 | 7 9 7 6√2- 7 √3 7 √5 |2,2 | 0 0 7 0 -7-- 0 0 0 0 7-- √0-- − -7- √0--- 0 ||5 3 〉 | 6√2- 3√5- --32- ---125 |2,2 〉 | 0 0 0 7 0√ - 7 0 0 0 0 7 0 − 7 0∘ --- |5, 5 | 0 0 0 0 3--5 0 0 0 0 0 0 √1-- 0 − -3 |2 2 〉 | ∘ --- 7 7 2 14 |72,− 72 | 314 0 0 0 0 0 0 √4- 0 0 0 0 0 0 | 〉 | √ -15- 7 √ - |72,− 52 | 0 --72- 0 0 0 0 √4- 0 8-73 0 0 0 0 0 ||7 3 〉 | -1-- √5- 7 8√3- 4√15- 2,− 2 | − 7√2 0√ -- 7 0 0 0 0 7 0 7 0 0 0 0 ||7 1 〉 | --32- √3- 4√15- 16 |2,− 2〉 | 0 − 7 0√- 7 √0-3 0 0 0 7 0 7 √0-- 0 0 |7, 1 | 0 0 − -3- 0 ---2 0 0 0 0 16 0 4--15- 0 0 ||27 23 〉 | 7 √5- 7 -1-- 7 4√15- 7 8√3- 2,2 | 0 0 0 − 7 0√ --- 7√2 0 0 0 0 7 0 7 0 ||7 5 〉 | --152- 8√3-- -4- 2,2 | 0 0 0 0 − 7 ∘0--- 0 0 0 0 0 7 0 √7 ||7, 7 〉 | 0 0 0 0 0 − 3- 0 0 0 0 0 0 √4- 0 2 2 14 7

Operator Ly + 2Sy in the basis of ℓ = 3 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||5,− 5〉 ||5, − 3〉 ||5,− 1〉 ||5, 1〉 ||5, 3 〉 ||5, 5〉 ||7,− 7 〉 ||7,− 5〉 ||7 ,− 3〉 ||7, − 1〉 ||7, 1〉 ||7 , 3' -|------〉-|-2---2----2--√-2----2----2----2--2-----2-2-----2--2----2-∘-2-----2----2----2----2----2----2-----2--2-----2--2------2--2------2--2---- |52,− 52 | 0 3i75- 0 0 0 0 − i 134 0 − -i√-- 0 0 0 0 0 |5 3 〉 | 3i√5- 6i√2 1 ∘ 15- 7 2 1 ∘ 3- |2,− 2 |− --7-- 0 -7--- 0 0 0 0 − 7i -2 0 − 7 i 2 0 0 0 0 ||5 1 〉 | 6i√2- 9i i√5-- i√3-- |2,− 2〉 | 0 − 7 0 7 0√ - 0 0 0 − 7 0√ - − 7 0√ - 0 0 |52, 12 | 0 0 − 9i7 0 6i7-2- 0 0 0 0 − i73- 0∘ -- − i75- 0∘ --- 0 ||5 3 〉 | 6i√2- 3i√5- 1 3 1 15 2,2 | 0 0 0 − 7 0√ - 7 0 0 0 0 − 7 i 2 0 − 7i 2 ∘0 --- ||5, 5 〉 | 0 0 0 0 − 3i-5- 0 0 0 0 0 0 − -i√-- 0 − i 3- |2 2 〉 | ∘ --- 7 7 2 14 |7,− 7 | i -3 0 0 0 0 0 0 4√i- 0 0 0 0 0 0 |2 2 〉 | 14 ∘ --- 7 √- |7,− 5 | 0 1i 15 0 0 0 0 − √4i 0 8i-3- 0 0 0 0 0 |27 23 〉 | i 7 2 i√5- 7 8i√3 7 4i√15- |2,− 2 | 7√2- 0∘ -- -7-- 0 0 0 0 − --7-- 0 --7--- 0 0 0 0 ||7 1 〉 | 1 3 i√3-- 4i√15-- 16i 2,− 2 | 0 7 i 2 0√ - 7 0∘ -- 0 0 0 − 7 0 7 √0-- 0 0 ||7, 1 〉 | 0 0 i--3 0 1i 3 0 0 0 0 − 16i 0 4i-15- 0 0 |2 2 〉 | 7 √ - 7 2 7 √ -- 7 √- |72, 32 | 0 0 0 i75- 0 -√i- 0 0 0 0 − 4i715- 0 8i73- 0 |7 5 〉 | 1 ∘ 15- 7 2 8i√3 4i |2,2 | 0 0 0 0 7 i -2 0--- 0 0 0 0 0 − --7-- 0 √7- ||7 7 〉 | ∘ 3- 4i- 2,2 0 0 0 0 0 i 14 0 0 0 0 0 0 − √7 0

Operator Lz + 2Sz in the basis of ℓ = 3 SO eigenfunctions |j,mj〉

|||5,− 5〉 ||5, − 3〉 ||5,− 1〉 ||5, 1〉 ||5 , 3〉 ||5, 5〉 ||7,− 7 〉 ||7,− 5〉 ||7 ,− 3〉 ||7,− 1〉 ||7, 1 〉 ||7, 3〉 & -|5---5-〉-|-2--125----2----2----2----2----2-2----2--2----2--2----2---2-----2√6-2----2----2----2----2----2-2-----2-2----2--2----2-2--- ||2,− 2 | − 7- 0 0 0 0 0 0 -7- √0- 0 0 0 0 0 |5,− 3 〉 | 0 − 9 0 0 0 0 0 0 -10- 0 0 0 0 0 |25 21 〉 | 7 3 7 2√3- ||2,− 2〉 | 0 0 − 7 0 0 0 0 0 0 --7- 0√ - 0 0 0 |5, 1 | 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 2--3 0 0 0 ||25 23 〉 | 7 9 7 √10- |2,2 〉 | 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 7 0√- 0 ||52, 52 〉 | 0 0 0 0 0 157 0 0 0 0 0 0 -67- 0 |7,− 7 | 0 0 0 0 0 0 − 4 0 0 0 0 0 0 0 ||27 25 〉 | √6- 20 |2,− 2 〉 | 7 √0- 0 0 0 0 0 − 7 0 0 0 0 0 0 |7,− 3 | 0 -10- 0 0 0 0 0 0 − 12 0 0 0 0 0 ||27 21 〉 | 7 2√3- 7 4 |2,− 2〉 | 0 0 7 0√- 0 0 0 0 0 − 7 0 0 0 0 |72, 12 | 0 0 0 273- √0- 0 0 0 0 0 47 0 0 0 ||7, 3 〉 | 0 0 0 0 -10- 0 0 0 0 0 0 12 0 0 |27 25 〉 | 7 √6 7 20 ||2,2 〉 | 0 0 0 0 0 -7- 0 0 0 0 0 0 -7 0 |7, 7 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 2

© 2018 – 2019 J. Autschbach. The material shown on this web page is based on the results of research funded by a grant from the US Department of Energy (Basic Energy Sciences, Heavy Element Chemistry program, grant DE-SC0001136). Any opinions, findings, and conclusions or recommendations expressed here are those of the author and do not necessarily reflect the views of this funding agency.

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