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Atomic spinors (spin-orbit eigenfunctions) expressed in a basis of atomic spin orbitals, and matrix elements of the angular momentum and Zeeman operators

Below are sets of HSO = ζLS eigenfunctions |j,mjexpressed in a basis |ℓ,m,msof atomic spin orbitals for a given angular momentum quantum number = 1, 2, or 3. These functions were generated with a Mathematica notebook similar to the Mathematica notebook discussed on this page. We also give these eigenfunctions subject to time reversal, and matrix elements of the spin and orbital angular momenum operators, and of the Zeeman (magnetic field perturbation) operator HαZ = Lα + 2Sα with α = x,y,z. The definition of the orbital angular momentum eigenfunctions in the basis uses the Condon-Shortley phase. As a consequence, time reversal changes m to m but also introduces a negative sign in the spin orbital basis if m is odd. The coefficients representing the eigenfunctions of HSO and their time-reversed counterparts reflect this. The |j,mjfunctions provided here were verified to be simultaneous eigenfunctions of HSO, j2, and j z, with phases such that j±|j,mj= α±|j,mj ± 1, with α± being a positive real number as long as mj ± 1 is in the allowed range of the projection quantum number, zero otherwise.

If you use this material for research please cite our publication [210] and this web page. And if you spot a mistake here, please let us know. Thank you.

p orbitals = 1

SO Hamiltonian HSO = ζL S in the basis of = 1 spin-orbitals |l,m,ms(excluding SO coupling constant ζ)

              ||         |           |         |           |           |
              ||1,1, 1〉  |1,1, − 1〉  |1,0, 1〉  |1,0, − 1〉  |1,− 1, 1〉  |1, − 1,− 1〉
-||-----1〉-----|----1-2-----------2---------2-----------2-----------2-------------2---
 |1,1, 2 1〉   |    2         0 1         01          0           0            0
 ||1,1,− 〉2    |   0         −  2        √2-         0           0            0
 |1,0, 1      |   0          √1-         0          0           0            0
 ||     2 1〉   |               2                                √1-
 |1,0,−  2〉   |   0          0           0          0            2           0
 ||1,− 1, 12    |   0          0           0         √12-         − 12           0
 |1,− 1, − 1〉 |   0          0           0          0           0            1
           2                                                                 2

HSO Eigenfunctions |j,mjin the basis of = 1 spin-orbitals |l,m,ms
(eigenvalues: 1 for j = 12, +12 for j = 32, times ζ)

              ||1   1 〉  |1 1〉  |3    3〉  |3    1〉  |3 1 〉 |3  3〉
-|------〉-----||2,−-2----|2,2---|2,-−-2---|2,−--2---|2,2---|2-,2---
 |1,1, 12      |   0        0∘ --     0        0        0       1
 ||       1〉   |              2                       -1-
  1,1,−  2    |   0      −   3      0        0       √∘ 3-     0
 ||1,0, 1〉     |   0       √1-       0        0         2      0
 |     2      |             3               ∘ --       3
 |1,0,−  1〉   | −  1√--     0        0          2      0       0
 |       2〉   |  ∘ -3                          3
 |1,− 1, 1    |    2       0        0        √1-      0       0
 ||       2 1〉 |    3                          3
  1,− 1,−  2  |   0        0        1        0        0       0

Kramers-conjugates |j,mj〉′ of the HSO Eigenfunctions in the basis of = 1 spin-orbitals |l,m,ms

              |
              |||1,−  1〉′ ||1, 1〉′  ||3,− 3〉 ′ ||3,−  1〉′ ||3 , 1〉′ ||3, 3 〉′
-||-----1〉-----|-2----2----2--2-----2---2-----2----2----2--2-----2-2----
 |1,1, 2  〉   |   ∘0 --     0        1          0        0       0
 |1,1,−  1    | −    2      0        0        − √1-      0       0
 |      〉2    |      3                         ∘  3-
 |1,0, 1      |   √1-       0        0       −    2      0       0
 |     2  〉   |    3                              3     ∘ --
 |1,0,−  12    |    0       √13-       0          0         23      0
 |       1〉   |             ∘ 2-                         1
 ||1,− 1, 2  〉 |    0      −   3      0          0       √3-      0
 |1,− 1, − 1  |    0        0        0          0        0      − 1
           2

Operator Sx in the basis of = 1 spin-orbitals |l,m,ms

              ||         |           |         |           |           |
              ||1,1, 1〉  |1,1, − 1〉  |1,0, 1〉  |1,0, − 1〉  |1,− 1, 1〉  |1, − 1,− 1〉
-||-----1〉-----|------2--------1--2---------2-----------2-----------2-------------2---
 |1,1, 2 1〉   |   01          2          0          0           0            0
 ||1,1,− 〉2    |    2         0           0          0           0            0
 ||1,0, 12  〉   |   0          0           0          12           0            0
 |1,0,−  1    |   0          0           1          0           0            0
 ||1,− 1, 21〉   |   0          0           20          0           0            1
 ||       2 1〉 |                                                 1            2
  1,− 1, − 2  |   0          0           0          0           2            0

Operator Sy in the basis of = 1 spin-orbitals |l,m,ms

              |||     1〉  ||       1〉  ||     1〉  ||       1〉  ||       1〉  ||         1〉
-|------〉-----|-1,1,-2----1,1,-−-2----1,0,-2----1,0,-−-2----1,−-1,-2----1,-−-1,−-2---
 ||1,1, 12  〉   |   0         −  i2         0          0           0            0
 |1,1,−  1    |    i         0           0          0           0            0
 ||1,0, 1〉2    |   02         0           0         − i          0            0
 ||     2 1〉   |                          i           2
 |1,0,−  2〉   |   0          0           2          0           0            0
 ||1,− 1, 12  〉 |   0          0           0          0           0           − i2
 |1,− 1, − 1  |   0          0           0          0           i            0
           2                                                    2

Operator Sz in the basis of = 1 spin-orbitals |l,m,ms

              ||      〉  |        〉  |      〉  |        〉  |        〉  |          〉
              ||1,1, 1   |1,1, − 1   |1,0, 1   |1,0, − 1   |1,− 1, 1   |1, − 1,− 1
-||-----1〉-----|----1-2-----------2---------2-----------2-----------2-------------2---
 |1,1, 2 1〉   |    2         0 1         0          0           0            0
 ||1,1,− 〉2    |   0         −  2         0          0           0            0
 ||1,0, 12  〉   |   0          0           12          0           0            0
 |1,0,−  1    |   0          0           0         − 1          0            0
 ||1,− 1, 21〉   |   0          0           0          02          1            0
 ||       2 1〉 |                                                 2             1
  1,− 1, − 2  |   0          0           0          0           0           − 2

Operator Sx in the basis of = 1 SO eigenfunctions |j,mj

          |||1,− 1〉  ||1 , 1〉 ||3,−  3〉  ||3,− 1 〉  ||3, 1〉 ||3 , 3〉
-||1---1-〉-|-2---2----2--21----2--1-2----2---2-----2-21----2--2---
 |2,− 2〉   |   0       − 6      √6        0      − 3√2     0
 |12, 12    |  − 16       0       0        -1√--      0     − √1-
 ||3,− 3 〉 |  √1-       0       0        31√2-      0       0 6
 |23   21 〉 |    6       1        1       2 3       1
 ||2,− 2〉   |   0       3√2--    2√3-       0        3       0
 |3, 1    | − -1√--     0       0         1        0      √1--
 ||23 23 〉   |   3 2      √1-               3       -1√--    2 3
  2,2     |   0      −   6     0         0       2 3      0

Operator Sy in the basis of = 1 SO eigenfunctions |j,mj

          ||1   1〉  |1  1〉  |3    3〉  |3   1 〉  |3 1〉  |3  3〉
-|------〉-||2,−-2---|2-,2---|2,−--2---|2,−-2----|2,2---|2-,2---
 |12,− 12   |   0       − i6    −  √i-      0      − -i√--    0
 ||1, 1 〉  |   i        0       0 6     − -i√--     30 2   − √i-
 |23 2 3 〉 |   6i                          3i  2               6
 ||2,− 2 〉 |  √6-       0       0        2√3-      0       0
 |3,− 1   |   0       √i--   − -√i-      0        i       0
 ||23 1 2〉   |  -i--     3 2      2  3       i       3      -i--
 |2,2 〉   |  3√2       0       0        − 3       0      2√3-
 |32, 32    |   0       √i-      0         0      − -i√--    0
                        6                         2 3

Operator Sz in the basis of = 1 SO eigenfunctions |j,mj

          |||1,− 1〉  ||1 , 1〉 ||3,−  3〉  ||3,− 1 〉  ||3, 1〉 ||3, 3〉
-|1----1〉-|-2-1-2----2--2----2----2----2-√22-----2-2----2--2---
 ||2,−  2  |   6        0       0         3--     √0-      0
 |1, 1 〉  |   0       − 1      0         0       --2      0
 ||23 2  3〉 |             6        1                3
 |2,−  2〉 |  √0-       0      −  2       0        0       0
 |32,−  12  |  -32      √0-      0        − 16       0       0
 ||3, 1 〉  |   0       --2      0         0        1       0
 ||23 23 〉   |            3                          6       1
  2,2     |   0        0       0         0        0       2

Operator Lx in the basis of = 1 spin-orbitals |l,m,ms

              |||     1〉  ||       1〉  ||     1〉  ||       1〉  ||       1〉  ||         1〉
-|------〉-----|-1,1,-2----1,1,-−-2----1,0,-2----1,0,-−-2----1,−-1,-2----1,-−-1,−-2---
 ||1,1, 12      |   0          0          √12-         0           0            0
 |1,1,−  1〉   |   0          0           0         √1-          0            0
 ||     1〉2    |   -1-                                2         -1-
 |1,0, 2  〉   |   √2         0           0          0          √2-           0
 |1,0,−  12    |   0          √1-         0          0           0           √1-
 ||1,− 1, 1〉   |   0          02         √1-         0           0            02
 |       2 1〉 |                          2          1
 |1,− 1, − 2  |   0          0           0         √2-          0            0

Operator Ly in the basis of = 1 spin-orbitals |l,m,ms

              |||1,1, 1〉  ||1,1, − 1〉  ||1,0, 1〉  ||1,0, − 1〉  ||1,− 1, 1〉  ||1, − 1,− 1〉
-||-----1〉-----|------2-----------2--------i2-----------2-----------2-------------2---
 |1,1, 2  〉   |   0          0         − √2         0           0            0
 |1,1,−  1    |   0          0           0        − √i-         0            0
 ||     1〉2    |   √i-                                 2         √i-
 |1,0, 2  〉   |    2         0           0          0         −   2          0
 |1,0,−  12    |   0          √i2-         0          0           0          − √i2-
 ||1,− 1, 1〉   |   0          0          √i-         0           0            0
 |       2 1〉 |                          2          i
 |1,− 1, − 2  |   0          0           0         √2-          0            0

Operator Lz in the basis of = 1 spin-orbitals |l,m,ms

              ||      〉  |        〉  |      〉  |        〉  |        〉  |          〉
-|------〉-----||1,1,-12---|1,1,-−-12---|1,0,-12---|1,0,-−-12---|1,−-1,-12---|1,-−-1,−-12---
 |1,1, 1      |   1          0           0          0           0            0
 ||1,1,−2 1〉   |   0          1           0          0           0            0
 ||     1〉2    |
 |1,0, 2 1〉   |   0          0           0          0           0            0
 ||1,0,−  2〉   |   0          0           0          0           0            0
 |1,− 1, 1    |   0          0           0          0          − 1           0
 ||1,− 1, 2− 1〉 |   0          0           0          0           0           − 1
           2  |

Operator Lx in the basis of = 1 SO eigenfunctions |j,mj

          |||1,− 1〉  ||1 , 1〉 ||3, − 3〉  ||3,−  1〉  ||3, 1〉 ||3 , 3〉
-||1---1-〉-|-2---2----2-22----2---12----2----2----212----2--2---
 |2,− 2〉   |   0        3      − √6       0       3√2      0
 |12, 12    |   23        0       0       − -1√--     0      √1-
 ||3,− 3 〉 | − √1-      0       0         31√--2     0       06
 |23   21 〉 |     6       1       1         3       2
 ||2,− 2〉   |   0     −  3√2-    √3-       0        3       0
 |3, 1    |  -1√--      0       0         2        0      √1-
 ||23 23 〉   |  3 2      √1-                3       √1-       3
  2,2     |   0         6      0         0         3      0

Operator Ly in the basis of = 1 SO eigenfunctions |j,mj

          ||1   1〉  |1  1〉  |3    3〉  |3    1〉  |3 1〉  |3  3〉
-|------〉-||2,−-2---|2-,2---|2,-−-2---|2,−--2---|2,2---|2-,2---
 |12,− 12   |   0        2i3-      √i-       0       -i√--     0
 ||1, 1 〉  | −  2i      0       06       -√i-     302     √i-
 |23 2 3 〉 |    3i                        3 i2               6
 ||2,− 2 〉 | − √6-      0       0         √3-      0       0
 |3,− 1   |   0     −  -i√--   − √i-      0        2i      0
 ||23 1 2〉   |   -i--     3 2       3        2i      3      -i-
 |2,2 〉   | − 3√2      0       0        − 3       0      √3-
 |32, 32    |   0      − √i-     0         0      − √i-     0
                         6                          3

Operator Lz in the basis of = 1 SO eigenfunctions |j,mj

          |||1,− 1〉  ||1 , 1〉 ||3,−  3〉  ||3,− 1 〉  ||3, 1〉 ||3, 3〉
-|1----1〉-|-2--22----2--2----2----2----2--√22-----2-2----2--2---
 ||2,−  2  |  − 3       0       0       −  3--     0√ -     0
 |1, 1 〉  |   0        2       0         0      − --2     0
 ||23 2  3〉 |            3                           3
 |2,−  2〉 |   0√ -      0      − 1        0        0       0
 |32,−  12  | − -32      0√ -     0        − 13       0       0
 ||3, 1 〉  |   0      − --2     0         0        1       0
 ||23 23 〉   |             3                         3
  2,2     |   0        0       0         0        0       1

Operator Lx + 2Sx in the basis of = 1 SO eigenfunctions |j,mj

          |||1   1〉  ||1  1〉  ||3    3〉  ||3   1 〉  ||3 1〉  ||3  3〉
-|------〉-|-2,−-2----2-,2----2,−--2----2,−-2-----2,2----2-,2---
 ||12,− 12   |   0        13       √16-       0      − 31√2-    0
 |1, 1 〉  |   1        0       0        -1√--      0     − √1-
 ||23 2 3 〉 |  -31-                        322                 6
 |2,− 2 〉 |  √6-       0       0        √3        0       0
 |32,− 12   |   0       √1--     √2-       0        43       0
 ||3, 1 〉  | − -1√--    302      03        4        0      √2-
 |23 23 〉   |   3 2       1                3        2        3
 |2,2     |   0      − √6-     0         0       √3-      0

Operator Ly + 2Sy in the basis of = 1 SO eigenfunctions |j,mj

          |||1,− 1〉  ||1 , 1〉 ||3,−  3〉  ||3,− 1 〉  ||3, 1〉 ||3 , 3〉
-||1---1-〉-|-2---2----2-i2----2---i2----2---2-----2-2i----2--2---
 |2,− 2〉   |   0        3     −  √6       0      − 3√2     0
 |1, 1    |  − i       0       0       − -i√--     0     − √i-
 ||23 2 3 〉 |  √i3                        √32i 2               6
 |2,− 2 〉 |    6       0       0          3       0       0
 |32,− 12   |   0       3√i2--   −  2√i3-      0        43i      0
 ||3, 1 〉  |  -i√--      0       0        − 4i      0      2√i-
 |23 23 〉   |  3 2       i                  3        2i      3
 |2,2     |   0       √6-      0         0      − √3-     0

Operator Lz + 2Sz in the basis of = 1 SO eigenfunctions |j,mj

          ||     〉  |    〉  |      〉  |      〉  |   〉  |    〉
----------||12,−-12---|12-, 12--|32,−--32---|32,−√-12----|32, 12--|32,-32---
 ||1,−  1〉 |  − 1       0       0         -2-      0       0
 |21 1 〉2  |    3       1                 3       √2
 ||2,2   〉 |   0        3       0         0       -3-      0
 |32,−  32  |   0        0      − 2        0        0       0
 ||3    1〉 |  √2-                          2
 |2,− 〉2  |   3       √0-      0        − 3       0       0
 ||32, 12 〉  |   0       -32      0         0        23       0
 |3, 3    |   0        0       0         0        0       2
  2 2

d orbitals = 2

SO Hamiltonian HSO = ζL S in the basis of = 2 spin-orbitals |l,m,ms(excluding SO coupling constant ζ)

              ||      〉  |        〉  |      〉  |        〉  |      〉  |        〉  |        〉  |           〉  |        〉  |          〉
-|------------||2,2,-12---|2,2,-−-12---|2,1,-12---|2,1,-−-12---|2,0,-12---|2,0,-−-12---|2,-−-1, 12--|2,-−-1,−-12----|2,-−-2,-12---|2,-−-2,−--12--
 |2,2, 1〉     |   1          0           0          0          0          0           0            0            0            0
 ||     2 1〉   |
 |2,2,−1〉2    |   0         − 1          11          0          0          0           0            0            0            0
 |2,1, 2      |   0          1           2          0        ∘ 0--        0           0            0            0            0
 ||2,1,−  1〉   |   0          0           0         − 1          3         0           0            0            0            0
 |      〉2    |                                   ∘  2-         2
 |2,0, 1      |   0          0           0           3         0          0           0            0            0            0
 |     2  〉   |                                      2                               ∘ --
 |2,0,−  12    |   0          0           0          0          0          0            32           0            0            0
 |       1〉   |                                                          ∘ 3-          1
 |2,− 1, 2    |   0          0           0          0          0           2         − 2           0            0            0
 ||2,− 1, − 1〉 |   0          0           0          0          0          0           0            1            1            0
 ||       1〉2  |                                                                                    2
 |2,− 2, 2 1〉 |   0          0           0          0          0          0           0            1           − 1           0
 |2,− 2, − 2  |   0          0           0          0          0          0           0            0            0            1

HSO Eigenfunctions in the basis of = 2 spin-orbitals |l,m,ms
(eigenvalues: 32 for j = 32, +1 for j = 52, times ζ)

              |||3,−  3〉  ||3,− 1〉  ||3 , 1〉 ||3, 3〉  ||5,− 5 〉  ||5,− 3〉  ||5, − 1〉  ||5, 1〉  ||5, 3〉 ||5 , 5〉
-||-----1〉-----|-2----2----2---2----2--2----2--2----2---2-----2---2----2----2----2--2----2-2----2--2---
 |2,2, 2  〉   |   0         0        0      0        0         0         0       0       0       1
 ||2,2,− 〉12    |   0         0        0     − √25-     0         0         0       0      √15-      0
 |2,1, 1      |   0         0        0      √1-      0         0         0       0      √2-      0
 |     2  〉   |                      ∘ --    5                                  ∘ --      5
 |2,1,−  12    |   0         0     −    35    0        0         0         0         25     0       0
 |     1〉     |                    ∘  2-                                        ∘ -3
 |2,0, 2      |   0         0         5     0        0         0         0         5     0       0
 ||       1〉   |             ∘ 2-                                       ∘  3-
  2,0,−  2    |   0       −∘ -5      0      0        0         0       ∘  5-     0       0       0
 ||       1〉   |              3                                            2
 |2,− 1, 2  〉 |   0          5       0      0        0         0          5      0       0       0
 |2,− 1, − 12  | −  1√5-      0        0      0        0        √25-        0       0       0       0
 ||2,− 2, 1〉   |   2√--       0        0      0        0        √1-        0       0       0       0
 |       2 1〉 |    5                                            5
 |2,− 2, − 2  |   0         0        0      0        1         0         0       0       0       0

Kramers-conjugates |j,mj〉′ of the HSO Eigenfunctions in the basis of = 2 spin-orbitals |l,m,ms

              |||3    3〉′ ||3    1〉′  ||3 1〉 ′ ||3  3〉′ ||5    5〉′  ||5   3 〉′ ||5    1〉′  ||5 1〉′  ||5 3 〉′ ||5  5〉′
-|-----1〉-----|-2,−--2----2,-−-2-----2,2-----2,-2----2-,−-2-----2,−-2-----2,-−-2-----2,2-----2,2-----2,-2---
 ||2,2, 2  〉   |    0         0        0        0       − 1        0          0        0        0       0
 |2,2,−  12    |   √25-        0        0        0        0         √15-        0        0        0       0
 ||2,1, 1〉     |  − √1-       0        0        0        0         √2-        0        0        0       0
 |     2  〉   |      5       ∘ --                                  5         ∘ --
 |2,1,−  1    |    0       −   3      0        0        0         0        −   2      0        0       0
 |      〉2    |             ∘ -5                                             ∘ 5-
 |2,0, 12      |    0          25       0        0        0         0        −   35      0        0       0
 |       1〉   |                      ∘ -2                                            ∘ 3-
 |2,0,−  2    |    0         0          5-     0        0         0          0         5-      0       0
 ||       1〉   |                       ∘  3                                           ∘ 2
 |2,− 1, 2  〉 |    0         0      −    5     0        0         0          0         5       0       0
 |2,− 1, − 1  |    0         0        0      − √1-      0         0          0        0      − √2-     0
 ||       1〉2  |                               √2-5                                             √51-
 |2,− 2, 2 1〉 |    0         0        0         5       0         0          0        0      −  5      0
 |2,− 2, − 2  |    0         0        0        0        0         0          0        0        0       1

Operator Sx in the basis of = 2 spin-orbitals |l,m,ms

              ||      〉  |        〉  |      〉  |        〉  |      〉  |        〉  |        〉  |           〉  |        〉  |          〉
-|------〉-----||2,2,-12---|2,2,-−-12---|2,1,-12---|2,1,-−-12---|2,0,-12---|2,0,-−-12---|2,-−-1, 12--|2,-−-1,−-12----|2,-−-2,-12---|2,-−-2,−--12--
 |2,2, 1      |   0           1          0          0          0          0           0            0            0            0
 ||2,2,−2 1〉   |    1         02          0          0          0          0           0            0            0            0
 ||     1〉2    |    2                                1
 |2,1, 2 1〉   |   0          0           01          2          0          0           0            0            0            0
 ||2,1,− 〉2    |   0          0           2          0          0          0           0            0            0            0
 ||2,0, 12      |   0          0           0          0          0          12           0            0            0            0
 |2,0,−  1〉   |   0          0           0          0          1          0           0            0            0            0
 ||       21〉   |                                                2                                   1
 |2,− 1, 2 1〉 |   0          0           0          0          0          0           01            2            0            0
 ||2,− 1, −〉2  |   0          0           0          0          0          0           2            0            0            0
 ||2,− 2, 12  〉 |   0          0           0          0          0          0           0            0            0            12
 |2,− 2, − 1  |   0          0           0          0          0          0           0            0            1            0
           2                                                                                                    2

Operator Sy in the basis of = 2 spin-orbitals |l,m,ms

              |||     1〉  ||       1〉  ||     1〉  ||       1〉  ||     1〉  ||       1〉  ||       1〉  ||         1 〉  ||       1〉  ||         1〉
-|------〉-----|-2,2,-2----2,2,-−-2----2,1,-2----2,1,-−-2----2,0,-2----2,0,-−-2----2,-−-1,2----2,-−-1,−-2----2,-−-2,-2---2,-−-2,−--2--
 ||2,2, 12  〉   |   0         −  i2         0          0          0          0           0            0            0            0
 |2,2,−  1    |    i         0           0          0          0          0           0            0            0            0
 ||2,1, 1〉2    |   02         0           0         − i         0          0           0            0            0            0
 |     2 1〉   |                          i           2
 ||2,1,− 〉2    |   0          0           2          0          0          0           0            0            0            0
 ||2,0, 12  〉   |   0          0           0          0          0         − i2          0            0            0            0
 |2,0,−  1    |   0          0           0          0          i          0           0            0            0            0
 ||       21〉   |                                                2                                    i
 |2,− 1, 2 1〉 |   0          0           0          0          0          0           0i           − 2           0            0
 ||2,− 1, −〉2  |   0          0           0          0          0          0           2            0            0            0
 ||2,− 2, 12    |   0          0           0          0          0          0           0            0            0           − i2
 |2,− 2, − 1〉 |   0          0           0          0          0          0           0            0            i            0
           2                                                                                                    2

Operator Sz in the basis of = 2 spin-orbitals |l,m,ms

               ||2,2, 1〉  ||2,2, − 1〉  ||2,1, 1〉  ||2,1, − 1〉  ||2,0, 1〉  ||2,0, − 1〉  ||2, − 1, 1〉 ||2, − 1,− 1 〉  ||2, − 2, 1〉  ||2, − 2,−  1〉
---||-----1〉--------1-2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2-------------2------------2-------------2--
  | 2,2, 2 〉       2         0           0          0          0          0           0            0            0            0
  |2|,2, − 12〉       0         −  12         0          0          0          0           0            0            0            0
   |2,1, 1        0          0           1          0          0          0           0            0            0            0
  ||2,1, −21〉      0          0           20         − 1         0          0           0            0            0            0
   ||     12〉                                          2         1
  | 2,0, 21〉      0          0           0          0          2          01          0            0            0            0
  ||2,0, − 2〉      0          0           0          0          0         − 2          0            0            0            0
 ||2,− 1, 12 〉     0          0           0          0          0          0           12            0            0            0
 |2,− 1, − 1      0          0           0          0          0          0           0           − 1           0            0
  ||       12〉                                                                                        2           1
 | 2,− 2, 21〉     0          0           0          0          0          0           0            0            2            01
 |2,− 2, − 2      0          0           0          0          0          0           0            0            0           − 2

Operator Sx in the basis of = 2 SO eigenfunctions |j,mj

          ||3   3〉  |3    1〉  |3  1〉  |3 3〉  |5    5〉  |5    3〉  |5    1〉  |5 1〉  |5  3〉  |5  5〉
-|------〉-||2,−-2---|2,-−√-2---|2,-2---|2,2---|2-,−-2---|2,−--2---|2,−--2---|2,2---|2-,2---|2,-2---
 |3,− 3   |   0       − --3     0       0       √1-       0       − -1√--     0       0      0
 |2   2 〉 |   √ -       10                        5       √-        5  2     √ 3-
 |3,− 1   | − --3       0      − 1      0        0        -3-       0      − --2-    0      0
 |23 1 2〉   |    10        1       5      √3-                5       √ -3       5      √3-
 ||2,2     |   0        − 5      0√-   − -10      0        0        -5-2      0     − -5-    0
 |3, 3 〉  |   0         0     −  -3-    0        0        0         0       -1√--     0     − √1-
 ||25 2 5 〉 |  -1-                 10                      --1-               5 2               5
 |2,− 2 〉 |  √5-       √0-      0       0        0       2√5        0√-       0       0      0
 |5,− 3   |   0        --3      0       0       -1√--      0         -2-      0       0      0
 |2   2 〉 |             5      √ -3             2 5       √-        5
 |5,− 1   | − -1√--      0      ---2     0        0        -2-       0        3-      0      0
 |2   2〉   |   5 2       √ 3-    5                          5                 10     √ -
 |52, 12    |   0      −  -52-    0      -1√--      0        0         310       0      -52     0
 ||5 3 〉   |                      √3-   5 2                                  √2-            --1-
 |2,2 〉   |   0         0     −  5      0        0        0         0        5       0     2√5
 |52, 52    |   0         0       0     − √15-      0        0         0        0      21√5-    0

Operator Sy in the basis of = 2 SO eigenfunctions |j,mj

          ||3   3〉  |3    1〉  |3  1〉  |3 3 〉  |5   5〉  |5    3〉  |5    1〉   |5  1〉   |5  3〉  |5 5 〉
-|--------||2,−-2---|2,-−√-2---|2,-2---|2,2----|2,−-2---|2-,−-2---|2,-−-2----|2,-2----|2,-2---|2,2---
 |3,− 3 〉 |   0      −  i-3-    0       0      − √i-       0      − -√i-      0        0       0
 |2   2 〉 |   √-        10                         5       √ -      5  2       ∘  --
 |32,− 12   |  i103-       0      −  i5     0        0      −  i53-     0      − 15i   32    0       0
 |    〉   |                              √-                          ∘  --              √ -
 |32, 12    |   0         i5       0     − i130-     0         0     − 15 i  32     0      − i-53    0
 ||3 3 〉   |                    i√3-                                           --i-             -i-
 |2,2   〉 |   0         0       10      0        0         0        0       − 5√ 2     0     − √ 5
 |52,− 52   |  √i5-        0       0       0        0        2i√5-      0         0        0       0
 ||5   3 〉 |            i√3--                      -i√--               i√2--
 |2,− 2   |   0         5       0∘  --   0      − 2 5       0√ -       5        0        0       0
 |5,− 1 〉 |  -i√--       0     1i   3    0        0      −  i-2-     0         3i       0       0
 |2   2〉   |  5 2        ∘ --  5    2                        5                 10       √ -
 |5, 1    |   0      1 i  3     0      -√i-      0         0       − 3i       0       i--2     0
 |25 23 〉   |          5    2    i√3-    5  2                          10        i√2-     5       i
 ||2,2 〉   |   0         0      --5-     0        0         0        0       −  -5--    0      2√5-
 |5, 5    |   0         0       0       √i-      0         0        0         0      − -√i-    0
  2 2                                    5                                             2  5

Operator Sz in the basis of = 2 SO eigenfunctions |j,mj

          |||3,− 3〉  ||3, − 1〉  ||3, 1〉  ||3, 3〉 ||5 ,− 5〉  ||5,−  3〉  ||5,−  1〉  ||5, 1〉 ||5 , 3〉 ||5, 5〉
-||3---3-〉-|-2-3-2----2----2----2--2----2-2----2----2----2--2-2----2----2----2-2----2--2----2--2--
 |2,− 2 〉 |   10         0       0       0        0         5        0√-       0       0      0
 |3,− 1   |   0        -1       0       0        0        0         -6-      0       0      0
 ||23 1 2〉   |            10        1-                                 5       √6-
 |23,23 〉   |   0         0      − 10     03       0        0         0        5       02      0
 ||2,2   〉 |   0         0       0     −  10      0        0         0        0       5      0
 ||52,− 52 〉 |   0         0       0       0       − 12       0         0        0       0      0
 |5,− 3   |   2         0       0       0        0       − -3       0        0       0      0
 ||25   21 〉 |   5        √6-                                 10        1-
 |2,− 2〉   |   0         5       0√-      0        0        0        − 10      0       0      0
 ||52, 12    |   0         0       56-     0        0        0         0        110      0      0
 |5, 3 〉  |   0         0       0       2        0        0         0        0      -3      0
 ||25 25 〉   |                             5                                           10      1
  2,2     |   0         0       0       0        0        0         0        0       0      2

Operator Lx in the basis of = 2 spin-orbitals |l,m,ms

              |||     1〉  ||       1〉  ||     1〉  ||       1〉  ||     1〉  ||       1〉  ||       1〉  ||         1 〉  ||       1〉  ||         1〉
-|-----1〉-----|-2,2,-2----2,2,-−-2----2,1,-2----2,1,-−-2----2,0,-2----2,0,-−-2----2,-−-1,2----2,-−-1,−-2----2,-−-2,-2---2,-−-2,−--2--
 ||2,2, 2  〉   |   0          0           1          0          0          0           0            0            0            0
 |2,2,−  12    |   0          0           0          1          0          0           0            0            0            0
 ||     1〉     |                                              ∘  3-
  2,1, 2      |   1          0           0          0           2        ∘0--         0            0            0            0
 ||       1〉   |                                                            3
  2,1,−  2    |   0          1         ∘ 0--        0          0           2         ∘0--          0            0            0
 ||2,0, 1〉     |   0          0            3         0          0          0            3           0            0            0
 |     2  〉   |                           2       ∘  --                                2          ∘ --
 |2,0,−  1    |   0          0           0           3         0          0           0             3           0            0
 |       2〉   |                                      2       ∘  --                                  2
 |2,− 1, 12    |   0          0           0          0           32         0           0            0            1            0
 |         1〉 |                                                          ∘ 3-
 |2,− 1, − 2  |   0          0           0          0          0           2          0            0            0            1
 ||2,− 2, 1〉   |   0          0           0          0          0          0           1            0            0            0
 ||       2 1〉 |
  2,− 2, − 2  |   0          0           0          0          0          0           0            1            0            0

Operator Ly in the basis of = 2 spin-orbitals |l,m,ms

              ||     1〉  |       1〉  |     1〉  |       1〉  |     1〉  |       1〉  |       1〉  |         1 〉  |       1〉  |         1〉
-|------〉-----||2,2,-2---|2,2,-−-2---|2,1,-2---|2,1,-−-2---|2,0,-2---|2,0,-−-2---|2,-−-1,2---|2,-−-1,−-2----|2,-−-2,-2---|2,-−-2,−--2--
 |2,2, 1      |   0          0          − i         0          0          0           0            0            0            0
 ||2,2,−2 1〉   |   0          0           0         − i         0          0           0            0            0            0
 |      〉2    |                                                ∘ --
 |2,1, 12      |    i         0           0          0       − i  32        0           0            0            0            0
 |       1〉   |                                                           ∘ -3
 |2,1,−  2    |   0           i          0--        0          0       − i   2        0 --         0            0            0
 ||     1〉     |                         ∘ 3                                           ∘  3
  2,0, 2      |   0          0         i  2        ∘0--        0          0        − i   2         0∘ --         0            0
 ||2,0,−  1〉   |   0          0           0        i  3         0          0           0         − i   3         0            0
 |       2    |                                      2        ∘ --                                    2
 |2,− 1, 1〉   |   0          0           0          0        i  3         0           0            0           − i           0
 |       2  〉 |                                                 2        ∘ --
 |2,− 1, − 1  |   0          0           0          0          0        i  3          0            0            0           − i
 ||       1〉2  |                                                            2
 |2,− 2, 2 1〉 |   0          0           0          0          0          0           i            0            0            0
 |2,− 2, − 2  |   0          0           0          0          0          0           0            i            0            0

Operator Lz in the basis of = 2 spin-orbitals |l,m,ms

              |||2,2, 1〉  ||2,2, − 1〉  ||2,1, 1〉  ||2,1, − 1〉  ||2,0, 1〉  ||2,0, − 1〉  ||2, − 1, 1〉 ||2, − 1,− 1 〉  ||2, − 2, 1〉  ||2, − 2,−  1〉
-||-----1〉-----|------2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2-------------2------------2-------------2--
 |2,2, 2  〉   |   2          0           0          0          0          0           0            0            0            0
 ||2,2,− 〉12    |   0          2           0          0          0          0           0            0            0            0
 |2,1, 1      |   0          0           1          0          0          0           0            0            0            0
 ||2,1,−2 1〉   |   0          0           0          1          0          0           0            0            0            0
 ||     1〉2    |
 |2,0, 2 1〉   |   0          0           0          0          0          0           0            0            0            0
 ||2,0,−  2〉   |   0          0           0          0          0          0           0            0            0            0
 ||2,− 1, 12  〉 |   0          0           0          0          0          0          − 1           0            0            0
 |2,− 1, − 1  |   0          0           0          0          0          0           0           − 1           0            0
 ||       1〉2  |
 |2,− 2, 2 1〉 |   0          0           0          0          0          0           0            0           − 2           0
 |2,− 2, − 2  |   0          0           0          0          0          0           0            0            0           − 2

Operator Lx in the basis of = 2 SO eigenfunctions |j,mj

          ||3   3〉  |3    1〉  |3  1〉  |3  3〉  |5   5〉  |5    3〉  |5    1〉  |5  1〉  |5 3〉  |5  5〉
-|------〉-||2,−-2---|2,√−-2---|2,-2---|2,-2---|2,−-2---|2-,−-2---|2,-−-2---|2,-2---|2,2---|2-,2---
 |3,− 3   |   0        3-3-     0       0      − √1-       0       -√1-      0       0       0
 |2   2 〉 |   √-        5                          5       √ -     5  2     √ -3
 |3,− 1   |  3-3-       0        6      0        0       − --3      0       ---2     0       0
 |23 1 2〉   |   5         6        5     3√3-                 5       √  3-    5      √3
 ||2,2     |   0         5       0√ -    -5--      0         0      − --52     0      -5-      0
 |3, 3 〉  |   0         0      3--3     0        0         0        0      − -1√--    0      √1-
 ||25 2 5 〉 |   -1-                5                        -2-                5  2             5
 |2,− 2 〉 | − √5        0√ -     0       0        0        √5-       0√ -      0       0       0
 |5,− 3   |   0       − --3     0       0       √2-        0       4--2      0       0       0
 |2   2 〉 |              5      √  3-             5        √-        5
 |5,− 1   |  -1√--       0     − ---2    0        0        4-2-      0        6       0       0
 |2   2〉   |  5 2       √ 3-       5                        5                 5       √-
 |52, 12    |   0        -52-     0     − -1√--     0         0         65       0      452-     0
 ||5 3 〉   |                     √3-     5  2                                4√2-            -2-
 |2,2 〉   |   0         0        5      0        0         0        0        5       0      √5-
 |52, 52    |   0         0       0       1√5-      0         0        0        0      √25-      0

Operator Ly in the basis of = 2 SO eigenfunctions |j,mj

          ||3   3〉  |3    1〉   |3  1〉   |3  3〉  |5    5〉  |5   3 〉 |5    1〉   |5 1〉   |5 3〉  |5  5〉
-|--------||2,−-2---|2-,−√-2----|2-,2----|2,-2---|2,−--2---|2,−-2---|2-,−-2----|2,2----|2,2---|2-,2---
 |3,− 3 〉 |   0       3i-3-       0        0       √i-       0        -i√--      0       0       0
 |2   2 〉 |    √ -      5                           5        √-       5 2       ∘ --
 |32,− 12   |− 3i5-3      0        6i5        0       0        i53-       0      15i  32     0       0
 |    〉   |                                √-                          ∘ --             √-
 |32, 12    |   0       −  6i5-       0      3i53-     0         0       15i  32      0      i53-     0
 ||3 3 〉   |                      3i√3-                                         -i--            -i-
 |2,2   〉 |   0         0      −   5       0       0         0         0       5√2      0      √ 5
 |52,− 52   | − √i5-       0         0        0       0        √25i        0        0       0       0
 ||5   3 〉 |             i√3--                        2√i-              4i√2-
 |2,− 2   |   0      −   5        0∘ --    0     −   5       0√ -      5        0       0       0
 |5,− 1 〉 | − -i√--      0     −  1i  3     0       0      −  4i-2-     0        6i      0       0
 |2   2〉   |   5 2        ∘ --    5   2                        5                 5       √ -
 |5, 1    |   0     −  1i  3      0     − -√i-     0         0       −  6i      0      4i-2-    0
 |25 23 〉   |            5   2      i√3-     5  2                          5       4i√2-    5       2i
 ||2,2 〉   |   0         0      −  -5--     0       0         0         0     −  -5---   0      √5-
 |5, 5    |   0         0         0      − √i-     0         0         0        0     − √2i     0
  2 2                                       5                                             5

Operator Lz in the basis of = 2 SO eigenfunctions |j,mj

          |||3,− 3〉  ||3, − 1〉  ||3, 1〉  ||3, 3〉 ||5 ,− 5〉  ||5,−  3〉  ||5,−  1〉  ||5, 1〉 ||5 , 3〉 ||5, 5〉
-||3---3-〉-|-2--92----2----2----2--2----2-2----2----2----2---22----2----2----2-2----2--2----2--2--
 |2,− 2 〉 |  − 5        0       0       0        0       −  5       0√-      0       0      0
 |3,− 1   |   0        − 3      0       0        0        0       −  -6-     0       0      0
 ||23 1 2〉   |              5      3                                    5       √6-
 |23,23 〉   |   0         0       5       09        0        0         0      −  5      02     0
 ||2,2   〉 |   0         0       0       5        0        0         0        0      − 5     0
 ||52,− 52 〉 |   0         0       0       0       − 2       0         0        0       0      0
 |5,− 3   |  − 2        0       0       0        0       −  6       0        0       0      0
 ||25   21 〉 |    5        √6-                                 5        2
 |2,− 2〉   |   0       −  5      0√-     0        0        0        − 5       0       0      0
 ||52, 12    |   0         0     −  56-    0        0        0         0        25       0      0
 |5, 3 〉  |   0         0       0      − 2       0        0         0        0       6      0
 ||25 25 〉   |                              5                                           5
  2,2     |   0         0       0       0        0        0         0        0       0      2

Operator Lx + 2Sx in the basis of = 2 SO eigenfunctions |j,mj

          |||3   3〉  ||3    1〉  ||3  1〉  ||3 3〉  ||5    5〉  ||5    3〉  ||5    1〉  ||5 1〉  ||5  3〉  ||5  5〉
-|------〉-|-2,−-2----2,√−-2----2,-2----2,2----2-,−-2----2,−--2----2,−--2----2,2----2-,2----2,-2---
 |32,− 32   |   0        253-     0       0       √1-       0       − -1√--     0       0      0
 |      〉 |   √-                                  5       √-        5  2     √ 3-
 |32,− 12   |  253-       0       45       0        0        -35-      √0--    − -52-    0      0
 ||3 1 〉   |             4              2√3-                        ---32              √3-
 |2,2 〉   |   0         5       0√ -     5        0        0         5        0     −  5     0
 |3, 3    |   0         0      2--3     0        0        0         0       -1√--     0     − √1-
 ||25 2 5 〉 |  √1-                5                         √3-               5 2               5
 |2,− 2 〉 |    5       √0-      0       0        0         5        0√ -      0       0      0
 |52,− 32   |   0        -53      0       0       √3-       0        65-2      0       0      0
 |      〉 |                    √ -3               5       √ -
 |52,− 12   | − 51√2-      0      -5-2     0        0       6-52       0        95       0      0
 |5 1 〉   |             √ 3-            1                           9               6√2
 |2,2     |   0      −  -52-    0 -    5√2-      0        0         5        0-     -5--    0
 ||5, 3 〉  |   0         0     −  √3-    0        0        0         0       6√2-     0      √3-
 |25 25 〉   |                      5       1                                   5       3       5
 |2,2     |   0         0       0     − √5-      0        0         0        0      √5-     0

Operator Ly + 2Sy in the basis of = 2 SO eigenfunctions |j,mj

          ||     〉  |      〉  |    〉   |   〉  |      〉  |      〉  |      〉   |   〉    |   〉  |    〉
----------||32,−-32---|32,-−-12---|32-, 12---|32, 32--|52,-−-52---|52,−--32---|52,−-12-----|52, 12----|52, 32--|52,-52---
 ||3   3 〉 |           2i√3-                       √i-                -i√--
 |2,− 2 〉 |   0√ -      5        0       0      −  5       0√ -    − 5  2      0∘ --    0       0
 |3,− 1   |− 2i--3      0        4i-      0       0       − i--3      0      − 1i   3    0       0
 |2   2〉   |    5                 5       √ -                5         ∘ --    5    2     √-
 |3, 1    |   0       − 4i       0     2i--3     0         0      − 1i   3     0      − i-3-    0
 |23 23 〉   |              5      2i√3     5                          5    2      i        5       i
 ||2,2   〉 |   0         0     − --5--    0       0         0         0       − 5√2-     0     − √5-
 |5,− 5   |  √i-        0        0       0       0         3√i-       0         0        0       0
 |25   23 〉 |    5       i√3-                        3i        5       6i√2-
 |2,− 2   |   0        -5--      0∘ --    0      − √5-      0        -5---      0        0       0
 ||5   1 〉 |  -i√--              1   3                       6i√2--               9i
  2,− 2   |  5 2        0∘ --   5i  2     0       0       −  5        0         5        0√ -     0
 ||5, 1 〉  |   0      1 i  3      0      -i√--     0         0        − 9i       0      6i--2     0
 |2 2 〉   |          5    2     √ -     5 2                           5         √ -     5
 |52, 32    |   0         0       i53-     0       0         0         0      −  6i5-2-    0      3√i-
 ||5, 5 〉  |   0         0        0      √i-      0         0         0         0      − √3i     50
  2 2     |                               5                                               5

Operator Lz + 2Sz in the basis of = 2 SO eigenfunctions |j,mj

          |||3,− 3〉  ||3, − 1〉  ||3, 1〉  ||3, 3〉 ||5 ,− 5〉  ||5,−  3〉  ||5,−  1〉  ||5, 1〉 ||5 , 3〉 ||5, 5〉
-||3---3-〉-|-2--62----2----2----2--2----2-2----2----2----2--2-2----2----2----2-2----2--2----2--2--
 |2,− 2 〉 |  − 5        0       0       0        0         5        0√-       0       0      0
 |3,− 1   |   0        − 2      0       0        0        0         -6-      0       0      0
 ||23 1 2〉   |              5      2                                   5       √6-
 |23,23 〉   |   0         0       5       06        0        0         0        5       02      0
 ||2,2   〉 |   0         0       0       5        0        0         0        0       5      0
 ||52,− 52 〉 |   0         0       0       0       − 3       0         0        0       0      0
 |5,− 3   |   2         0       0       0        0       −  9       0        0       0      0
 ||25   21 〉 |   5        √6-                                  5        3
 |2,− 2〉   |   0         5       0√-      0        0        0        − 5       0       0      0
 ||52, 12    |   0         0       56-     0        0        0         0        35       0      0
 |5, 3 〉  |   0         0       0       2        0        0         0        0       9      0
 ||25 25 〉   |                             5                                            5
  2,2     |   0         0       0       0        0        0         0        0       0      3

f orbitals = 3

SO Hamiltonian HSO = ζL S in the basis of = 3 spin-orbitals |l,m,ms(excluding SO coupling constant ζ)

              |||3,3, 1〉  ||3,3, − 1〉  ||3,2, 1〉  ||3,2, − 1〉  ||3,1, 1〉  ||3,1, − 1〉  ||3, 0, 1〉 ||3, 0,− 1 〉 ||3, − 1, 1 〉 ||3, − 1,−  1〉  ||3, &
-||-----1〉-----|----3-2-----------2---------2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2--------------2-----------2-------------2-----------2-------------2---
 |3,3, 2  〉   |    2         0         ∘ 0--        0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 |3,3,−  1    |   0         −  3          3         0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 |      〉2    |             ∘  2-         2
 |3,2, 1      |   0            3         1          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 |     2  〉   |                2                             ∘  --
 |3,2,−  12    |   0          0           0         − 1          52         0          0          0           0            0            0            0            0            0
 |     1〉     |                                   ∘  5-        1
 |3,1, 2      |   0          0           0           2         2          0          0--        0           0            0            0            0            0            0
 ||3,1,−  1〉   |   0          0           0          0          0         − 1        √ 3         0           0            0            0            0            0            0
 ||     1〉2    |                                                          √ 2-
 |3,0, 2  〉   |   0          0           0          0          0           3         0          0          √0--          0            0            0            0            0
 ||3,0,−  12〉   |   0          0           0          0          0          0          0         √0--          3           0            0            0            0            0
 |3,− 1, 1    |   0          0           0          0          0          0          0           3         − 1           0            0            0            0            0
 |       2 1〉 |                                                                                              2           1           ∘ 5-
 |3,− 1, − 2  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            2             2           0            0            0
 ||       1〉   |                                                                                                         ∘ 5-
  3,− 2, 2    |   0          0           0          0          0          0          0          0           0             2          − 1           0           ∘0--          0
 ||         1〉 |                                                                                                                                                   3
  3,− 2, − 2  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0           ∘1--            2          0
 ||3,− 3, 1〉   |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0              3         −  3          0
 |       2 1〉 |                                                                                                                                      2            2           3
 |3,− 3, − 2  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0             2

HSO Eigenfunctions in the basis of = 3 spin-orbitals |l,m,ms
(eigenvalues: 2 for j = 52, +32 for j = 72, times ζ)

              |||5,−  5〉  ||5,− 3〉  ||5 ,− 1〉  ||5, 1〉  ||5, 3 〉 ||5, 5〉 ||7, − 7〉  ||7,−  5〉  ||7,− 3〉  ||7 ,− 1〉  ||7, 1〉  ||7, 3 '
-||-----1〉-----|-2----2----2---2----2----2----2--2----2-2-----2-2----2----2----2----2----2---2----2----2----2--2----2-2-----2-2----2--2---
 |3,3, 2  〉   |   0         0         0       0       0       0∘ --     0        0         0         0       0       0       0       1
 |3,3,−  1    |   0         0         0       0       0     −   6      0        0         0         0       0       0      √1-      0
 |      〉2    |                                                 7                                                          ∘ 7-
 |3,2, 1      |   0         0         0       0       0      √1-       0        0         0         0       0       0        6      0
 |     2  〉   |                                       ∘ --     7                                                   ∘ --      7
 |3,2,−  12    |   0         0         0       0     −   57     0        0        0         0         0       0        27      0       0
 |     1〉     |                                      ∘ 2-                                                          ∘ 5-
 |3,1, 2      |   0         0         0       0        7      0        0        0         0         0       0 --     7      0       0
 ||       1〉   |                                -2-                                                         ∘  3
  3,1,−  2    |   0         0         0      −∘ √7-    0       0        0        0         0         0         7     0       0       0
 ||3,0, 1〉     |   0         0         0         3     0       0        0        0         0         0       √2-     0       0       0
 |     2      |                       ∘ --      7                                                            7
 |3,0,−  1〉   |   0         0      −    3     0       0       0        0        0         0        √2-      0       0       0       0
 |       2〉   |                         7                                                          ∘ 7-
 |3,− 1, 1    |   0         0        √2-      0       0       0        0        0         0          3      0       0       0       0
 |       2  〉 |             ∘ --       7                                                 ∘ --        7
 |3,− 1, − 12  |   0       −   27       0       0       0       0        0        0          57        0       0       0       0       0
 |       1〉   |            ∘ 5-                                                          ∘ 2-
 |3,− 2, 2    |   0          7        0       0       0       0        0        0          7        0       0       0       0       0
 ||         1〉 |    1--                                                         ∘ -6
  3,− 2, − 2  | −∘ √7       0         0       0       0       0        0          7       0         0       0       0       0       0
 ||       1〉   |     6                                                           1√--
 |3,− 3, 2  〉 |     7       0         0       0       0       0        0         7        0         0       0       0       0       0
 |3,− 3, − 12  |   0         0         0       0       0       0        1        0         0         0       0       0       0       0

Kramers-conjugates |j,mj〉′ of the HSO Eigenfunctions in the basis of = 3 spin-orbitals |l,m,ms

              |||5,−  5〉’ ||5 ,− 3〉’  ||5,−  1〉’  ||5, 1〉’ ||5, 3〉’  ||5, 5〉’ ||7,−  7〉’  ||7,− 5〉’  ||7,−  3〉’  ||7,− 1
-||-----1〉-----|-2----2----2----2-----2----2-----2-2-----2--2-----2-2-----2----2-----2---2-----2----2-----2---2-----2--2-----2-2-----2--2-----2-2----
 |3,3, 2  〉   |   ∘0 --      0          0        0        0       0         1         0          0         0         0       0        0       0
 |3,3,−  1    | −    6       0          0        0        0       0         0       −  1√--       0         0         0       0        0       0
 |      〉2    |      7                                                                ∘ 7-
 |3,2, 1      |   √1-        0          0        0        0       0         0       −    6       0         0         0       0        0       0
 |     2  〉   |     7       ∘ --                                                         7      ∘ --
 |3,2,−  12    |    0          57         0        0        0       0         0         0           27        0         0       0        0       0
 |     1〉     |              ∘ -2                                                               ∘ 5-
 |3,1, 2      |    0       −    7       0        0        0       0         0         0           7        0 --      0       0        0       0
 ||       1〉   |                         -2-                                                                ∘  3
  3,1,−  2    |    0         0        −∘ √7-      0        0       0         0         0          0       −    7      0       0        0       0
 ||3,0, 1〉     |    0         0           3       0        0       0         0         0          0       −  2√--      0       0        0       0
 |     2      |                          7      ∘ --                                                         7
 |3,0,−  1〉   |    0         0          0          3      0       0         0         0          0         0        √2-      0        0       0
 |       2〉   |                                    7                                                                ∘ 7-
 |3,− 1, 1    |    0         0          0      −  2√--     0       0         0         0          0         0          3      0        0       0
 |       2  〉 |                                    7      ∘ --                                                        7      ∘ --
 |3,− 1, − 12  |    0         0          0        0     −    27     0         0         0          0         0         0     −    57     0       0
 |       1〉   |                                         ∘  5-                                                                ∘ -2
 |3,− 2, 2    |    0         0          0        0         7      0         0         0          0         0         0     −    7     0       0
 ||         1〉 |                                                   1--                                                                ∘ 6-
  3,− 2, − 2  |    0         0          0        0        0       √∘7--      0         0          0         0         0       0         7      0
 ||       1〉   |                                                      6                                                               √1-
 |3,− 3, 2  〉 |    0         0          0        0        0     −    7      0         0          0         0         0       0         7      0
 |3,− 3, − 12  |    0         0          0        0        0       0         0         0          0         0         0       0        0      − 1

Operator Sx in the basis of = 3 spin-orbitals |l,m,ms

              |||3,3, 1〉  ||3,3, − 1〉  ||3,2, 1〉  ||3,2, − 1〉  ||3,1, 1〉  ||3,1, − 1〉  ||3, 0, 1〉 ||3, 0,− 1 〉 ||3, − 1, 1 〉 ||3, − 1,−  1〉  ||3, &
-||-----1〉-----|------2--------1--2---------2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2--------------2-----------2-------------2-----------2-------------2---
 |3,3, 2  〉   |   0           2          0          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,3,− 〉12    |    12         0           0          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 |3,2, 1      |   0          0           0          1          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,2,−2 1〉   |   0          0           1          20          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||     1〉2    |                          2                                1
 |3,1, 2 1〉   |   0          0           0          0          01          2          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,1,− 〉2    |   0          0           0          0          2          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,0, 12  〉   |   0          0           0          0          0          0          0          12           0            0            0            0            0            0
 |3,0,−  1    |   0          0           0          0          0          0          1          0           0            0            0            0            0            0
 ||       21〉   |                                                                      2                                   1
 |3,− 1, 2 1〉 |   0          0           0          0          0          0          0          0           01            2            0            0            0            0
 ||3,− 1, −〉2  |   0          0           0          0          0          0          0          0           2            0            0            0            0            0
 ||3,− 2, 12  〉 |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0            12            0            0
 |3,− 2, − 1  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            1            0            0            0
 ||3,− 3, 1〉2  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            20            0            0             1
 ||       2 1〉 |                                                                                                                                                  1            2
  3,− 3, − 2  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0            0             2           0

Operator Sy in the basis of = 3 spin-orbitals |l,m,ms

              |||3,3, 1〉  ||3,3, − 1〉  ||3,2, 1〉  ||3,2, − 1〉  ||3,1, 1〉  ||3,1, − 1〉  ||3, 0, 1〉 ||3, 0,− 1 〉 ||3, − 1, 1 〉 ||3, − 1,−  1〉  ||3, &
-||-----1〉-----|------2---------i-2---------2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2--------------2-----------2-------------2-----------2-------------2---
 |3,3, 2  〉   |   0         −  2         0          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,3,− 〉12    |    i2         0           0          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 |3,2, 1      |   0          0           0         − i         0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||     2 1〉   |                          i           2
 |3,2,−1〉2    |   0          0           2          0          0          0i         0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,1, 2  〉   |   0          0           0          0          0         − 2         0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,1,− 〉12    |   0          0           0          0          i2          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 |3,0, 1      |   0          0           0          0          0          0          0         − i          0            0            0            0            0            0
 ||     2 1〉   |                                                                      i           2
 |3,0,−  21〉   |   0          0           0          0          0          0          2          0           0            0i           0            0            0            0
 ||3,− 1, 2  〉 |   0          0           0          0          0          0          0          0           0           − 2           0            0            0            0
 |3,− 1, − 12  |   0          0           0          0          0          0          0          0           i2            0            0            0            0            0
 ||3,− 2, 1〉   |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0           − -i          0            0
 ||       2 1〉 |                                                                                                                       i             2
 |3,− 2, −1〉2  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            2            0            0            0 i
 ||3,− 3, 2  〉 |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0           −  2
 |3,− 3, − 1  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0            0             i           0
           2                                                                                                                                                     2

Operator Sz in the basis of = 3 spin-orbitals |l,m,ms

              |||3,3, 1〉  ||3,3, − 1〉  ||3,2, 1〉  ||3,2, − 1〉  ||3,1, 1〉  ||3,1, − 1〉  ||3, 0, 1〉 ||3, 0,− 1 〉 ||3, − 1, 1 〉 ||3, − 1,−  1〉  ||3, &
-||-----1〉-----|----1-2-----------2---------2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2--------------2-----------2-------------2-----------2-------------2---
 |3,3, 2  〉   |    2         0           0          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,3,− 〉12    |   0         −  12         0          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 |3,2, 1      |   0          0           1          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,2,−2 1〉   |   0          0           20         − 1         0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||     1〉2    |                                      2         1
 |3,1, 2 1〉   |   0          0           0          0          2          01         0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,1,− 〉2    |   0          0           0          0          0         − 2         0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,0, 12  〉   |   0          0           0          0          0          0          12          0           0            0            0            0            0            0
 |3,0,−  1    |   0          0           0          0          0          0          0         − 1          0            0            0            0            0            0
 ||       21〉   |                                                                                  2          1
 |3,− 1, 2 1〉 |   0          0           0          0          0          0          0          0           2            01           0            0            0            0
 ||3,− 1, −〉2  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0           − 2           0            0            0            0
 ||3,− 2, 12  〉 |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            12            0            0            0
 |3,− 2, − 1  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0           − 1           0            0
 ||3,− 3, 1〉2  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0            02            1           0
 ||       2 1〉 |                                                                                                                                                  2             1
  3,− 3, − 2  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0           −  2

Operator Sx in the basis of = 3 SO eigenfunctions |j,mj

          |||5,− 5〉  ||5, − 3〉  ||5,−  1〉  ||5, 1〉  ||5, 3 〉  ||5, 5〉  ||7,− 7〉  ||7 ,− 5〉  ||7,−  3〉  ||7,− 1 〉  ||7, 1〉 ||7, 3⟩
-|------〉-|-2---2----2--√-2----2----2----2-2-----2-2------2-2-----2∘---2----2----2----2----2----2---2-----2-2----2--2----2--2-----2--2---
 |52,− 52   |   0       − 145      0        0       0        0         314       0      − -√1-      0        0       0       0       0
 |      〉 |   √ -                 √-                                        √ -15-      7  2      √ -3
 |52,− 32   | − -154       0 -    −  -27-     0       0        0        0       --72-      0-      − -7-2     0 -     0       0       0
 ||5,− 1 〉 |   0       − √-2      0      −  3-     0        0        0         0        √5-       0      − √-3     0       0       0
 |25 1 2〉   |              7         3       14      √2                                   7        √3        7      √5
 |2,2     |   0         0       − 14      0     −  7--     0        0         0        0         7--     √0--   − -7-    √0---    0
 ||5 3 〉   |                               √2-              √5-                                           --32-            ---125
 |2,2 〉   |   0         0        0      −  7      0√-    −  14       0         0        0         0        7       0    −   7      0∘ ---
 |5, 5    |   0         0        0        0     −  -5-     0        0         0        0         0        0      √1--     0     −   -3
 |2 2   〉 | ∘ ---                                  14                                                            7 2                14
 |72,− 72   |    314       0        0        0       0        0        0        -1√--      0         0        0       0       0       0
 |      〉 |           √ -15-                                                  2 7       √-
 |72,− 52   |   0       --72-      0        0       0        0       -1√--       0        -37-       0        0       0       0       0
 ||7   3 〉 |   -1--               √5-                               2 7       √3-                √15-
  2,− 2   | − 7√2       0√ --     7        0       0        0        0         7        0         14       0       0       0       0
 ||7   1 〉 |             --32-             √3-                                          √15-                2
 |2,− 2〉   |   0      −   7       0√-      7      √0-3      0        0         0        14        0        7      √0-      0       0
 |7, 1    |   0         0      −  -3-     0      ---2      0        0         0        0         2        0      -15-     0       0
 ||27 23 〉   |                        7      √5-     7       -1--                                   7       √15-    14      √3-
  2,2     |   0         0        0      −  7      0√ ---   7√2       0         0        0         0        14      0       7       0
 ||7 5 〉   |                                       --152-                                                          √3-             --1-
  2,2     |   0         0        0        0    −   7      ∘0---     0         0        0         0        0       7       0      2√ 7
 ||7, 7 〉  |   0         0        0        0       0     −    3-     0         0        0         0        0       0      -1√--     0
  2 2                                                        14                                                          2 7

Operator Sy in the basis of = 3 SO eigenfunctions |j,mj

          |||5,− 5〉  ||5, − 3〉  ||5,−  1〉  ||5, 1〉  ||5, 3〉  ||5, 5〉  ||7,−  7〉  ||7, − 5〉   ||7,− 3〉  ||7 ,− 1〉   ||7 , 1〉  ||7, 3ɾ
-|------〉-|-2---2----2--√-2----2----2----2-2-----2--2----2--2----2-∘--2----2----2-----2---2----2----2-----2--2-----2--2------2-2-------2-2----
 |52,− 52   |   0      −  i145-     0        0       0        0    − i   314      0       − -i√--      0         0        0        0         0
 |5   3 〉 |  i√5                 i√2-                                       1 ∘ -15     7 2      1 ∘ 3-
 |2,− 2   |  -14--       0      − --7-     0       0        0       0      − 7i   2-     0     −  7i  2      0        0        0         0
 ||5   1 〉 |            i√2--                3i                                           i√5-                i√3--
 |2,− 2〉   |   0         7        0      −  14     0√ -     0       0          0       −  7        0√ -    −   7       0√ -      0         0
 |52, 12    |   0         0        31i4       0     − i7-2     0       0          0         0       − i73-      0∘ -- −  i75-     0∘  ---    0
 ||5 3 〉   |                              i√2-              i√5--                                            1   3            1    15
  2,2     |   0         0        0        7       0√ -   −  14      0          0         0         0     −  7i  2     0    − 7 i  2      0∘ ---
 ||5, 5 〉  |   0         0        0        0      i--5      0       0          0         0         0         0     −  √i--     0      − i  -3
 |2 2   〉 |  ∘ ---                                14                                                                 7 2                  14
 |7,− 7   | i  -3       0        0        0       0        0       0         √i--       0         0         0        0        0         0
 |2   2 〉 |    14      ∘ ---                                                 2 7        √-
 |7,− 5   |   0      1i   15     0        0       0        0     − -√i-       0        i-3-       0         0        0        0         0
 |27   23 〉 |   i      7    2     i√5-                               2  7       i√3-       7       i√15-
 |2,− 2   |  7√2-       0∘ --    -7--      0       0        0       0       −  -7--      0       -14--       0        0        0         0
 ||7   1 〉 |          1    3              i√3-                                           i√15--               2i-
  2,− 2   |   0      7 i  2      0√ -      7       0∘  --    0       0          0      −   14       0         7       √0-       0         0
 ||7, 1 〉  |   0         0       i--3      0     1i   3     0       0          0         0       −  2i       0      i-15-      0         0
 |2 2 〉   |                      7        √-    7    2                                             7        √ --    14        √-
 |72, 32    |   0         0        0       i75-     0      -√i-      0          0         0         0      − i1415-     0       i73-       0
 |7 5 〉   |                                     1 ∘ 15-  7  2                                                        i√3-                i
 |2,2     |   0         0        0        0     7i  -2     0---    0          0         0         0         0     −  -7--     0        2√7-
 ||7 7 〉   |                                              ∘  3-                                                                -i--
  2,2         0         0        0        0       0     i   14     0          0         0         0         0        0      − 2√7       0

Operator Sz in the basis of = 3 SO eigenfunctions |j,mj

          |||5,− 5〉  ||5, − 3〉  ||5,−  1〉  ||5, 1〉 ||5 , 3〉 ||5, 5〉  ||7,− 7 〉  ||7,− 5〉  ||7 ,− 3〉  ||7,−  1〉  ||7, 1 〉 ||7, 3〉 &
-|5---5-〉-|-2-5-2----2----2----2----2----2-2----2--2----2--2----2---2-----2√6-2----2----2----2----2----2-2-----2-2----2--2----2-2---
 ||2,− 2   |   14-        0        0        0       0      0        0        -7-       √0-       0        0       0      0       0
 |5,− 3 〉 |   0        -3        0        0       0      0        0         0        -10-      0        0       0      0       0
 |25   21 〉 |            14        1                                                    7       2√3-
 ||2,− 2〉   |   0         0        14       0       0      0        0         0         0       --7-      0√ -     0      0       0
 |5, 1    |   0         0        0      −  1-     0      0        0         0         0        0       2--3     0      0       0
 ||25 23 〉   |                                14     -3                                                    7      √10-
 |2,2 〉   |   0         0        0        0     − 14     0        0         0         0        0        0       7      0√-      0
 ||52, 52  〉 |   0         0        0        0       0     − 154      0         0         0        0        0       0      -67-     0
 |7,− 7   |   0         0        0        0       0      0       − 1        0         0        0        0       0      0       0
 ||27   25 〉 |  √6-                                                   2         5-
 |2,− 2 〉 |   7        √0-       0        0       0      0        0       −  14       0        0        0       0      0       0
 |7,− 3   |   0        -10-      0        0       0      0        0         0       − -3       0        0       0      0       0
 ||27   21 〉 |             7       2√3-                                                  14        -1
 |2,− 2〉   |   0         0        7        0√-      0      0        0         0         0       − 14      0       0      0       0
 |72, 12    |   0         0        0       273-    √0-     0        0         0         0        0        114      0      0       0
 ||7, 3 〉  |   0         0        0        0      -10-    0        0         0         0        0        0      -3      0       0
 |27 25 〉   |                                       7      √6                                                    14       5
 ||2,2 〉   |   0         0        0        0       0      -7-      0         0         0        0        0       0      14      0
 |7, 7    |   0         0        0        0       0      0        0         0         0        0        0       0      0       1
  2 2                                                                                                                          2

Operator Lx in the basis of = 3 spin-orbitals |l,m,ms

              |||3,3, 1〉  ||3,3, − 1〉  ||3,2, 1〉  ||3,2, − 1〉  ||3,1, 1〉  ||3,1, − 1〉  ||3, 0, 1〉 ||3, 0,− 1 〉 ||3, − 1, 1 〉 ||3, − 1,−  1〉  ||3, &
-|------〉-----|------2-----------2-----∘---2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2--------------2-----------2-------------2-----------2-------------2---
 |3,3, 12      |   0          0            32         0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 |       1〉   |                                   ∘  3-
 |3,3,−  2    |   0          0           0           2         0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||     1〉     |  ∘ -3                                        ∘  5-
  3,2, 2      |     2       ∘0 --        0          0           2        ∘0--        0          0           0            0            0            0            0            0
 ||       1〉   |                3                                           5
  3,2,−  2    |   0            2       ∘ 0--        0          0           2         0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,1, 1〉     |   0          0            5         0          0          0         √3--        0           0            0            0            0            0            0
 |     2  〉   |                           2       ∘  --                                        √ --
 |3,1,−  1    |   0          0           0           5         0          0          0           3          0            0            0            0            0            0
 |     1〉2    |                                      2        √ --                                         √ --
 ||3,0, 2  〉   |   0          0           0          0           3        √0--        0          0            3          √0--          0            0            0            0
 |3,0,−  1    |   0          0           0          0          0           3         0          0           0             3           0            0            0            0
 ||       21〉   |                                                                     √ --                                             ∘ 5-
  3,− 1, 2    |   0          0           0          0          0          0           3         0           0            0             2          ∘0--          0            0
 ||         1〉 |                                                                                √ --                                                  5
  3,− 1, − 2  |   0          0           0          0          0          0          0           3         ∘0--          0            0              2         ∘0--          0
 ||3,− 2, 1〉   |   0          0           0          0          0          0          0          0            5           0            0            0              3          0
 |       2  〉 |                                                                                              2          ∘ --                                      2         ∘  --
 |3,− 2, − 1  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0             5           0            0            0              3
 |        〉2  |                                                                                                           2          ∘ --                                      2
 |3,− 3, 12    |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0             32           0            0            0
 |          〉 |                                                                                                                                   ∘ --
 |3,− 3, − 12  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0              32          0            0

Operator Ly in the basis of = 3 spin-orbitals |l,m,ms

              |||3,3, 1〉  ||3,3, − 1〉  ||3,2, 1〉  ||3,2, − 1〉  ||3,1, 1〉  ||3,1, − 1〉  ||3, 0, 1〉 ||3, 0,− 1 〉 ||3, − 1, 1 〉 ||3, − 1,−  1〉  ||3, &
-|------〉-----|------2-----------2-------∘-2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2--------------2-----------2-------------2-----------2-------------2---
 |3,3, 12      |   0          0        − i  32        0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 |       1〉   |                                     ∘ 3-
 |3,3,−  2    |   0          0           0       − i  2        0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||     1〉     |   ∘ 3-                                         ∘ 5-
  3,2, 2      |  i  2        0∘ --        0          0       − i  2        0∘ --       0          0           0            0            0            0            0            0
 ||       1〉   |                3                                             5
  3,2,−  2    |   0         i  2        ∘0--        0          0       − i   2       0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,1, 1〉     |   0          0         i  5         0          0          0       − i√3--       0           0            0            0            0            0            0
 |     2  〉   |                           2        ∘ --                                         √ --
 |3,1,−  1    |   0          0           0        i  5         0          0          0       − i  3         0            0            0            0            0            0
 |     1〉2    |                                      2        √ --                                          √  --
 ||3,0, 2  〉   |   0          0           0          0        i  3        √0--        0          0        − i   3         0√  --        0            0            0            0
 |3,0,−  1    |   0          0           0          0          0        i  3         0          0           0         −  i  3         0            0            0            0
 ||       21〉   |                                                                     √ --                                              ∘  5-
  3,− 1, 2    |   0          0           0          0          0          0        i  3         0           0            0         −  i  2         0∘ --        0            0
 ||         1〉 |                                                                                √ --                                                   5
  3,− 1, − 2  |   0          0           0          0          0          0          0        i  3         ∘0--          0            0          − i  2         0∘ --        0
 ||3,− 2, 1〉   |   0          0           0          0          0          0          0          0         i   5          0            0            0          − i  3         0
 |       2  〉 |                                                                                               2         ∘  --                                      2          ∘ --
 |3,− 2, − 1  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0          i   5          0            0            0          − i  3
 |        〉2  |                                                                                                            2         ∘  --                                      2
 |3,− 3, 12    |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0           i  32          0            0            0
 |          〉 |                                                                                                                                    ∘ --
 |3,− 3, − 12  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0           i  32          0            0

Operator Lz in the basis of = 3 spin-orbitals |l,m,ms

              |||3,3, 1〉  ||3,3, − 1〉  ||3,2, 1〉  ||3,2, − 1〉  ||3,1, 1〉  ||3,1, − 1〉  ||3, 0, 1〉 ||3, 0,− 1 〉 ||3, − 1, 1 〉 ||3, − 1,−  1〉  ||3, &
-||-----1〉-----|------2-----------2---------2-----------2---------2-----------2---------2-----------2-----------2--------------2-----------2-------------2-----------2-------------2---
 |3,3, 2  〉   |   3          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,3,− 〉12    |   0          3           0          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 |3,2, 1      |   0          0           2          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,2,−2 1〉   |   0          0           0          2          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||     1〉2    |
 |3,1, 2 1〉   |   0          0           0          0          1          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,1,− 〉2    |   0          0           0          0          0          1          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||3,0, 12  〉   |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 |3,0,−  1    |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0            0
 ||       21〉   |
 |3,− 1, 2 1〉 |   0          0           0          0          0          0          0          0          − 1           0            0            0            0            0
 ||3,− 1, −〉2  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0           − 1           0            0            0            0
 ||3,− 2, 12  〉 |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0           − 2           0            0            0
 |3,− 2, − 1  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0           − 2           0            0
 ||3,− 3, 1〉2  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0            0           − 3           0
 ||       2 1〉 |
  3,− 3, − 2  |   0          0           0          0          0          0          0          0           0            0            0            0            0           −  3

Operator Lx in the basis of = 3 SO eigenfunctions |j,mj

          |||5,− 5〉  ||5, − 3〉  ||5,−  1〉  ||5, 1〉  ||5, 3〉 ||5 , 5〉 ||7,−  7〉  ||7,− 5 〉  ||7,− 3〉  ||7 ,− 1〉  ||7, 1〉  ||7, 3〉  &
-|------〉-|-2---2----2-√--2----2----2----2-2-----2-2----2--2----2-∘--2----2---2-----2---2----2----2----2--2----2--2----2-2----2--2---
 |52,− 52   |   0        475-      0        0       0       0     −   134      0        -1√--       0       0       0       0       0
 |      〉 |   √-                 √ -                                        √ 15-    7 2       √ 3-
 |52,− 32   |  475-       0-      87-2      0       0       0       0      −  -7-2-     0 -      -72-     0-      0       0       0
 ||5,− 1 〉 |   0        8√-2-      0        12      0       0       0         0       − √-5       0       √3-     0       0       0
 |25 1 2〉   |             7        12       7      8√2                                   7        √3-      7      √5
 |2,2     |   0         0        7-       0      -7--     0       0         0         0       − -7-     0√  --   7--    √0---    0
 ||5 3 〉   |                              8√2-            4√5-                                           ---32           --125-
 |2,2 〉   |   0         0        0        7       0√-      7       0         0         0         0     −   7     0       7     ∘ 0--
 |5, 5    |   0         0        0        0      4-5-     0       0         0         0         0       0     − -1√--    0        3-
 |2 2   〉 |  ∘ ---                                7                                                             7  2             14
 |72,− 72   |−    314      0        0        0       0       0       0         3√--       0         0       0       0       0       0
 |      〉 |            √ -15-                                                 7        √-
 |72,− 52   |   0      − --72-     0        0       0       0       √3-       0        673-       0       0       0       0       0
 ||7   3 〉 |  -1--                 √5-                              7       6√3-               3√15-
  2,− 2   |  7√2       √0--    −   7      0       0       0       0         7         0         7       0       0       0       0
 ||7   1 〉 |            --32-               √3-                                       3√15-               12
 |2,− 2〉   |   0         7        0√-     −  7      0√ 3-    0       0         0         7         0        7      0√--     0       0
 |7, 1    |   0         0        -3-      0    −  --2-    0       0         0         0        12       0      3-15-    0       0
 ||27 23 〉   |                      7       √5-       7      -1--                                  7      3√15-    7      6√3-
  2,2     |   0         0        0        7     √ 0--- −  7√2     0         0         0         0        7      0       7       0
 ||7 5 〉   |                                     ---125                                                          6√3-            -3-
  2,2     |   0         0        0        0       7     ∘ 0--     0         0         0         0       0       7       0      √ 7
 ||7, 7 〉  |   0         0        0        0       0       -3      0         0         0         0       0       0      √3-      0
  2 2                                                     14                                                             7

Operator Ly in the basis of = 3 SO eigenfunctions |j,mj

          |||5,− 5〉   ||5,− 3 〉  ||5,−  1〉  ||5, 1〉    ||5, 3〉    ||5, 5〉   ||7,− 7 〉  ||7 ,− 5〉  ||7, − 3〉  ||7,−  1〉   ||7, 1〉   ||7, 3&#
-|------〉-|-2---2-----2-√-2-----2----2----2--2------2--2------2--2-----2∘--2----2----2----2----2----2----2-----2-2------2-2-----2--2----2--2---
 |52,− 52   |   0        4i7-5-      0         0        0         0       i  134       0       -√i-       0         0        0       0        0
 |5   3 〉 |  4i√5-               8i√2                                           1 ∘  15-   7  2     1 ∘  3-
 |2,− 2   |− --7--      0        --7--      0        0         0         0      7i   2-      0      7i   2      0        0       0        0
 ||5   1 〉 |             8i√2--              12i                                              i√5--               i√3-
 |2,− 2〉   |   0      −   7        0         7        0√ -       0         0         0         7        0√ -       7        0√-      0        0
 |52, 12    |   0         0        − 127i      0       8i7-2-      0         0         0         0       i7-3       0∘ --    i75-     0∘ ---    0
 ||5 3 〉   |                                8i√2-              4i√5-                                           1   3            1   15
  2,2     |   0         0         0      −   7       0√ -       7        0         0         0        0       7i  2      0     7i   2    ∘0---
 ||5, 5 〉  |   0         0         0         0      − 4i-5-     0         0         0         0        0         0       -i√--     0      i  3-
 |2 2   〉 |   ∘ ---                                   7                                                                 7 2                14
 |7,− 7   |− i  -3      0         0         0        0         0         0        √3i        0        0         0        0       0        0
 |2   2 〉 |     14       ∘ ---                                                      7        √-
 |7,− 5   |   0     −  1i  15     0         0        0         0       − √3i       0       6i-3-      0         0        0       0        0
 |27   23 〉 |    i       7    2      i√5-                                     7      6i√3-      7      3i√15-
 |2,− 2   | − 7√2-      0∘ --   −  -7--     0        0         0         0      − --7--      0      --7---      0        0       0        0
 ||7   1 〉 |            1    3               i√3--                                            3i√15--             12i
  2,− 2   |   0      − 7i   2     0√ -   −   7       0∘  --    0         0         0     −    7       0         7        0√--     0        0
 ||7, 1 〉  |   0         0       −  i-3-     0     − 1i   3     0         0         0         0      −  12i      0      3i-15-    0        0
 |2 2 〉   |                         7       √ -     7    2                                             7         √--     7        √-
 |72, 32    |   0         0         0      −  i75-     0       − -√i-      0         0         0        0      − 3i715-    0      6i73-     0
 |7 5 〉   |                                         1 ∘ 15-    7  2                                                     6i√3-             3i
 |2,2     |   0         0         0         0    −  7i  -2     0  ---    0         0         0        0         0     − --7--    0       √7-
 ||7 7 〉   |                                                    ∘  3-                                                              3i-
  2,2         0         0         0         0        0      − i   14     0         0         0        0         0        0      − √7      0

Operator Lz in the basis of = 3 SO eigenfunctions |j,mj

          |||5,− 5〉  ||5, − 3〉  ||5,−  1〉  ||5, 1 〉 ||5, 3〉 ||5 , 5〉 ||7,−  7〉  ||7,− 5 〉  ||7,− 3〉  ||7 ,− 1〉  ||7, 1〉  ||7, 3〉  &
-|5---5-〉-|-2--220----2----2----2----2----2-2-----2-2----2--2----2----2----2--√26-----2---2----2----2----2--2----2--2----2-2----2--2---
 ||2,− 2   | −  7-       0        0        0       0       0       0       −  7--      0√--       0       0       0       0       0
 |5,− 3 〉 |   0       − 12       0        0       0       0       0         0       − -10-      0       0       0       0       0
 |25   21 〉 |              7         4                                                   7        2√3
 ||2,− 2〉   |   0         0       −  7      0       0       0       0         0         0      −  -7--    0√ -    0       0       0
 |5, 1    |   0         0        0        4       0       0       0         0         0         0     − 2--3    0       0       0
 ||25 23 〉   |                               7       12                                                      7     √10-
 |2,2 〉   |   0         0        0        0       7       0       0         0         0         0       0     −  7      0√ -     0
 ||52, 52  〉 |   0         0        0        0       0      207       0         0         0         0       0       0     − -76     0
 |7,− 7   |   0         0        0        0       0       0      − 3        0         0         0       0       0       0       0
 ||27   25 〉 |   √6-                                                            15
 |2,− 2 〉 | −  7        0√--      0        0       0       0       0        − 7        0         0       0       0       0       0
 |7,− 3   |   0      −  -10-     0        0       0       0       0         0        − 9        0       0       0       0       0
 ||27   21 〉 |              7       2√3-                                                  7         3
 |2,− 2〉   |   0         0      −   7      0√ -    0       0       0         0         0        − 7      0       0       0       0
 |72, 12    |   0         0        0      − 27-3    0√--     0       0         0         0         0        37      0       0       0
 ||7, 3 〉  |   0         0        0        0     − -10-    0       0         0         0         0       0       9       0       0
 |27 25 〉   |                                        7      √6-                                                   7       15
 ||2,2 〉   |   0         0        0        0       0     − -7-     0         0         0         0       0       0       7-      0
 |7, 7    |   0         0        0        0       0       0       0         0         0         0       0       0       0       3
  2 2

Operator Lx + 2Sx in the basis of = 3 SO eigenfunctions |j,mj

          |||5,− 5〉  ||5, − 3〉  ||5,−  1〉  ||5, 1〉  ||5, 3 〉  ||5, 5〉  ||7,− 7〉  ||7 ,− 5〉  ||7,−  3〉  ||7,− 1 〉  ||7, 1〉 ||7, 3⟩
-|------〉-|-2---2----2-√--2----2----2----2-2-----2-2------2-2-----2∘---2----2----2----2----2----2---2-----2-2----2--2----2--2-----2--2---
 |52,− 52   |   0        375-      0        0       0        0         314       0      − -√1-      0        0       0       0       0
 |      〉 |   √-                 √ -                                        √ -15-      7  2      √ -3
 |52,− 32   |  375-       0-      67-2      0       0        0        0       --72-      0-      − -7-2     0 -     0       0       0
 ||5,− 1 〉 |   0        6√-2-      0        9       0        0        0         0        √5-       0      − √-3     0       0       0
 |25 1 2〉   |             7        9        7      6√2-                                   7        √3        7      √5
 |2,2     |   0         0        7        0      -7--      0        0         0        0         7--     √0--   − -7-    √0---    0
 ||5 3 〉   |                              6√2-             3√5-                                           --32-            ---125
 |2,2 〉   |   0         0        0        7       0√ -      7        0         0        0         0        7       0    −   7      0∘ ---
 |5, 5    |   0         0        0        0      3--5      0        0         0        0         0        0      √1--     0     −   -3
 |2 2   〉 | ∘ ---                                 7                                                              7 2                14
 |72,− 72   |    314       0        0        0       0        0        0        √4-       0         0        0       0       0       0
 |      〉 |           √ -15-                                                    7       √ -
 |72,− 52   |   0       --72-      0        0       0        0       √4-        0       8-73       0        0       0       0       0
 ||7   3 〉 |   -1--               √5-                                 7       8√3-               4√15-
  2,− 2   | − 7√2       0√ --     7        0       0        0        0         7        0         7        0       0       0       0
 ||7   1 〉 |             --32-             √3-                                          4√15-               16
 |2,− 2〉   |   0      −   7       0√-      7      √0-3      0        0         0         7        0        7      √0--     0       0
 |7, 1    |   0         0      −  -3-     0      ---2      0        0         0        0         16       0     4--15-     0       0
 ||27 23 〉   |                        7      √5-     7       -1--                                   7      4√15-     7      8√3-
  2,2     |   0         0        0      −  7      0√ ---   7√2       0         0        0         0        7       0       7       0
 ||7 5 〉   |                                       --152-                                                          8√3--             -4-
  2,2     |   0         0        0        0    −   7      ∘0---     0         0        0         0        0       7       0       √7
 ||7, 7 〉  |   0         0        0        0       0     −    3-     0         0        0         0        0       0      √4-      0
  2 2                                                        14                                                            7

Operator Ly + 2Sy in the basis of = 3 SO eigenfunctions |j,mj

          |||5,− 5〉  ||5, − 3〉  ||5,−  1〉  ||5, 1〉   ||5, 3 〉 ||5, 5〉  ||7,− 7 〉  ||7,−  5〉  ||7 ,− 3〉  ||7, − 1〉   ||7, 1〉   ||7 , 3'
-|------〉-|-2---2----2--√-2----2----2----2--2-----2-2-----2--2----2-∘-2-----2----2----2----2----2----2-----2--2-----2--2------2--2------2--2----
 |52,− 52   |   0       3i75-      0        0        0       0     − i  134      0       −  -i√--      0        0         0        0          0
 |5   3 〉 |  3i√5-              6i√2                                         1 ∘ 15-     7 2     1  ∘ 3-
 |2,− 2   |− --7--      0       -7---     0        0       0        0      − 7i  -2      0     − 7 i  2     0         0        0          0
 ||5   1 〉 |            6i√2-              9i                                             i√5--                i√3--
 |2,− 2〉   |   0      −   7       0         7       0√ -     0        0         0        −  7        0√ -    −   7       0√ -      0          0
 |52, 12    |   0         0       − 9i7      0       6i7-2-    0        0         0          0      −  i73-     0∘  -- −  i75-     0∘ ---     0
 ||5 3 〉   |                               6i√2-           3i√5-                                            1    3             1   15
  2,2     |   0         0        0      −   7      0√ -     7       0         0          0         0     − 7 i  2     0     − 7i   2     ∘0 ---
 ||5, 5 〉  |   0         0        0        0     −  3i-5-   0        0         0          0         0        0      −  -i√--     0      − i   3-
 |2 2   〉 |  ∘ ---                                  7                                                                 7 2                   14
 |7,− 7   | i  -3       0        0        0        0       0        0         4√i-        0         0        0         0        0          0
 |2   2 〉 |    14      ∘ ---                                                   7         √-
 |7,− 5   |   0      1i   15     0        0        0       0      − √4i       0        8i-3-       0        0         0        0          0
 |27   23 〉 |   i      7    2     i√5-                                  7       8i√3       7       4i√15-
 |2,− 2   |  7√2-       0∘ --    -7--      0        0       0        0       − --7--      0       --7---     0         0        0          0
 ||7   1 〉 |          1    3               i√3--                                          4i√15--              16i
  2,− 2   |   0      7 i  2      0√ -       7       0∘ --    0        0         0       −   7        0         7       √0--      0          0
 ||7, 1 〉  |   0         0       i--3      0      1i   3    0        0         0          0       − 16i      0       4i-15-     0          0
 |2 2 〉   |                      7        √ -    7    2                                             7        √ --     7         √-
 |72, 32    |   0         0        0        i75-     0      -√i-      0         0          0         0     −  4i715-    0       8i73-       0
 |7 5 〉   |                                     1  ∘ 15-  7  2                                                       8i√3                4i
 |2,2     |   0         0        0        0     7 i  -2    0---     0         0          0         0        0      − --7--     0         √7-
 ||7 7 〉   |                                               ∘  3-                                                                 4i-
  2,2         0         0        0        0        0     i   14     0         0          0         0        0         0       − √7        0

Operator Lz + 2Sz in the basis of = 3 SO eigenfunctions |j,mj

          |||5,− 5〉  ||5, − 3〉  ||5,−  1〉  ||5, 1〉 ||5 , 3〉 ||5, 5〉  ||7,− 7 〉  ||7,− 5〉  ||7 ,− 3〉  ||7,−  1〉  ||7, 1 〉 ||7, 3〉 &
-|5---5-〉-|-2--125----2----2----2----2----2-2----2--2----2--2----2---2-----2√6-2----2----2----2----2----2-2-----2-2----2--2----2-2---
 ||2,− 2   | −  7-       0        0        0       0      0        0        -7-       √0-       0        0       0      0       0
 |5,− 3 〉 |   0        − 9       0        0       0      0        0         0        -10-      0        0       0      0       0
 |25   21 〉 |              7         3                                                  7       2√3-
 ||2,− 2〉   |   0         0       −  7      0       0      0        0         0         0       --7-      0√ -     0      0       0
 |5, 1    |   0         0        0        3       0      0        0         0         0        0       2--3     0      0       0
 ||25 23 〉   |                               7       9                                                     7      √10-
 |2,2 〉   |   0         0        0        0       7      0        0         0         0        0        0       7      0√-      0
 ||52, 52  〉 |   0         0        0        0       0      157       0         0         0        0        0       0      -67-     0
 |7,− 7   |   0         0        0        0       0      0       − 4        0         0        0        0       0      0       0
 ||27   25 〉 |  √6-                                                             20
 |2,− 2 〉 |   7        √0-       0        0       0      0        0       −  7        0        0        0       0      0       0
 |7,− 3   |   0        -10-      0        0       0      0        0         0       − 12       0        0       0      0       0
 ||27   21 〉 |             7       2√3-                                                   7         4
 |2,− 2〉   |   0         0        7        0√-      0      0        0         0         0       −  7      0       0      0       0
 |72, 12    |   0         0        0       273-    √0-     0        0         0         0        0        47       0      0       0
 ||7, 3 〉  |   0         0        0        0      -10-    0        0         0         0        0        0      12      0       0
 |27 25 〉   |                                       7      √6                                                     7      20
 ||2,2 〉   |   0         0        0        0       0      -7-      0         0         0        0        0       0      -7      0
 |7, 7    |   0         0        0        0       0      0        0         0         0        0        0       0      0       4
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© 2018 – 2019 J. Autschbach. The material shown on this web page is based on the results of research funded by a grant from the US Department of Energy (Basic Energy Sciences, Heavy Element Chemistry program, grant DE-SC0001136). Any opinions, findings, and conclusions or recommendations expressed here are those of the author and do not necessarily reflect the views of this funding agency.

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